Деякі положення комплексного числення

Як відомо з курсу математики, комплексне число А = а + jb має дві складові: дійсну а та уявну b, які є координатами точки на комплексній пло­щині (рис. 4.24, а). Комплексна площина є прямокутною системою координат, по осі абсцис, яку називають віссю дійсних чисел (+1) – (-1), відкладають дійсну частину комплексного числа а, а по осі ординат – яку називають віссю уявних чисел (+ j) – (– j), відкладають уявну частину комплексного числа b, . Комплексне число будемо позначати великою літерою з крапкою зверху. Комплексне число може бути зображене вектором, довжина якого є модулем комплексного числа, а положення визначається кутом (аргументом) а відносно додатного напряму дійсної осі комплексної площини.

Виразивши а і b через модуль (довжину вектора) і кут , можна записати комплексне число в тригонометричній формі, а застосувавши формулу Ейлера, комплексне число можна записати в показниковій формі:

(4.48)

де a + jb – алгебрична,

– тригонометрична,

– показникова форма запису комплексного числа;

– модуль комплексного числа;

– аргумент комплексного числа; – на комплексній площині відкладається від осі абсцис проти годинникової стрілки, якщо > 0; та за годинниковою стрілкою – якщо < 0; e – основа натурального логарифма.

Формула Ейлера показує зв'язок між показниковим та тригонометричним виразами комплексного числа:

(4.49)

і дає змогу переходити від однієї форми запису комплексного числа до іншої.

Розглянемо основні геометричні операції над векторами й алгебричні дії над комплексними числами, які їх відображають.

1) Спряжені комплексні числа і мають однакові модулі й однакові, але протилежні за знаком аргументи. Спряжені комплексні числа є дзеркальним відображенням один одного відносно осі дійсних чи­сел (рис. 4.25, а).

2) Додавання чи віднімання двох (або більше) комплексних чисел можна провести аналітично:

або графічно за правилом складання векторів (рис. 4.24, б).

3) Добуток двох комплексних чисел, які відображають два вектори єкомплексне число, якому відповідає вектор :

Вектор комплексу добутку двох векторів має довжину, що дорівнює добутку модулів, а аргумент а дорівнює алгебричній сумі аргументів множників (рис. 4.24, в).

Або в алгебричній формі:

Якщо комплексне число помножити на , то нове комплексне число буде мати цей самий модуль А, але повернутий на кут проти стрілки годинника, якщо > 0, і за стрілкою годинника – якщо < 0. Часто множник називають оператором повороту.

Ураховуючи оператор повороту , згідно з рис. 4.25, б або за формулою Ейлера, можна підрахувати :

і т.д.