Інтегрування ірраціональних функцій. Диференціальний біном Чебишова.

Розглянемо інтеграл:

, (10.1) де – раціональні числа, а – будь які константи.

П.Л.Чебишовим^[1] було встановлено, що інтеграли вигляду (10.1) обчислюються в елементарних функціях лише у трьох випадках:

1) – ціле;

2) – ціле;

3) – ціле.

Інтеграли (10.1) називаються диференціальними біномами Чебишова.

Розглянемо кожен випадок окремо.

I. Нехай – ціле. Тоді підстановка , де – спільний множник

дробів , зводить інтеграл (10.1) до інтегралу від раціональної функції. Якщо зокрема , то навіть можна не робити ніяких підстановок, а просто розгорнути вираз за формулою бінома Ньютона, і тоді інтеграл зводиться до суми інтегралів від степеневих функцій.

II. Нехай – ціле. Зробимо підстановку: , тоді ,

, і отримуємо:

, де .

Оскільки число ціле, то зробимо підстановку: , де – знаменник дробу . Тоді інтеграл зводиться до інтегралу від раціональної функції. Можна б було і одразу в інтегралі (10.1) зробити підстановку .

III. Нехай – ціле. Тоді наш інтеграл перепишемо так:

.

Зробимо підстановку: . Тоді , і отримуємо:

.

Оскільки показник цілий, то тепер інтеграл зводиться до інтегралу від раціональної функції підстановкою , де – знаменник дробу . Можна і одразу в інтегралі (10.1) робити підстановку .

Приклади.

1. .

Тут , тобто маємо випадок II. Робимо заміну: , тоді , , і інтеграл набуває вигляду:

.

2. .

Тут , тобто випадок III.

Перетворимо інтеграл так:

і зробимо заміну: . Тоді , і інтеграл набуває вигляду:

.

Таким чином звели до інтегралу від раціональної функції. Використовуючи методи, викладені в п. 8, отримуємо, що цей інтеграл дорівнює (перевірте самостійно):

.

Повертаючись до змінної , остаточно отримуємо, що наш інтеграл дорівнює:

.

3. .

Тут: . Таким чином жодна з умов I, II, III не виконана, отже даний інтеграл не обчислюється в елементарних функціях.