Інтеграли від тригонометричних функцій.

Тут ми розглянемо деякі типи інтегралів від тригонометричних функцій.

I. Інтеграли вигляду .

Розглянемо два випадки.

1. Серед чисел і хоч би одне непарне. Припустимо для визначеності, що непарне, тоді . Маємо:

. , і далі інтеграл за допомогою формули бінома Ньютона розкладається на суму інтегралів від степеневих функцій.

2. Обидва числа і парні. Тоді застосуються наступні формули зниження степеня:

.

Приклади.

1.

.

2.

.

II. Інтеграли вигляду .

Такі інтеграли обчислюються за допомогою формул:

.

Приклад.

.

III. Інтеграли вигляду

.

Такі інтеграли обчислюються за допомогою формул:

,

,

.

Приклад.

.

IV. Інтеграли вигляду

, де – раціональна функція від , зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:

. (12.1)

Тоді ,

.

Приклад.

.

Зробимо підстановку (12.1). Тоді матимемо:

.

Використання універсальної тригонометричної підстановки може приводити до громіздких обчислень. Тому іноді доцільно використовувати інші підстановки. Наприклад, якщо виконано , то застосується підстановка . Якщо , то застосується підстановка . Якщо , то застосується підстановка . Зокрема, така підстановка доцільна для інтегралів вигляду:

.

Приклад.

.