Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Інтеграли від тригонометричних функцій.






Тут ми розглянемо деякі типи інтегралів від тригонометричних функцій.

 

I. Інтеграли вигляду .

Розглянемо два випадки.

1. Серед чисел і хоч би одне непарне. Припустимо для визначеності, що непарне, тоді . Маємо:

 

 

. , і далі інтеграл за допомогою формули бінома Ньютона розкладається на суму інтегралів від степеневих функцій.

2. Обидва числа і парні. Тоді застосуються наступні формули зниження степеня:

 

.

 

Приклади.

1.

.

 

2.

.

 

II. Інтеграли вигляду .

Такі інтеграли обчислюються за допомогою формул:

.

 

 

Приклад.

.

 

III. Інтеграли вигляду

.

Такі інтеграли обчислюються за допомогою формул:

 

,

,

.

Приклад.

.

 

IV. Інтеграли вигляду

, де – раціональна функція від , зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:

. (12.1)

Тоді ,

.

 

Приклад.

.

 

Зробимо підстановку (12.1). Тоді матимемо:

 

.

Використання універсальної тригонометричної підстановки може приводити до громіздких обчислень. Тому іноді доцільно використовувати інші підстановки. Наприклад, якщо виконано , то застосується підстановка . Якщо , то застосується підстановка . Якщо , то застосується підстановка . Зокрема, така підстановка доцільна для інтегралів вигляду:

 

.

 

Приклад.

 

.

 



mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2020 год. (0.017 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал