Метод інтегрування за частинами.

Нехай – неперервно диференційовні на деякому проміжку функції. Розглянемо диференціал їх добутку:

.

Зінтегруємо обидві частини цієї рівності:

.

Або:

(5.1)

Формула (5.1) називається формулою інтегрування за частинами. Вона „перекидає” символ диференціала з функції на функцію . Функцію у під-інтегральному виразі підбирають таким чином, щоб інтеграл у правій частині формули (5.1) був простішим, ніж інтеграл у лівій частині цієї формули.

Розглянемо приклади.

1). .

Оберемо , тоді .

Згідно з формулою (5.1) маємо:

.

2) .

Оберемо Тоді маємо:

.

Чому ж першого разу ми обрали , а другого разу . Ось саме з метою спрощення інтеграла за рахунок формули (5.1). Саме з цих міркувань випливають наступні рекомендації щодо застосування цієї формули.

Якщо під знаком інтеграла міститься добуток степеневої функції на тригонометричну або показникові функцію (зокрема експоненту), то у якості варто обирати степеневу функцію.

Якщо під знаком інтеграла міститься добуток степеневої функції на логарифмічну або обернену тригонометричну, то у якості варто обирати відповідно логарифмічну або обернену тригонометричну функцію.

Іноді формулу (5.1) доводиться застосовувати декілька разів.

Приклади.

1).

.

2). .

Позначимо даний інтеграл через і застосуємо формулу (5.1), обравши . Тоді

.

Далі: . Отримаємо:

, тобто отримали рівняння відносно . Розв’язуючи його, маємо:

.