Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Інтегрування ірраціональних функцій. Інтеграли, що містять .
Розглянемо інтеграли вигляду:
, , де – раціональна функція змінних та . Такі інтеграли можна звести до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера: 1) , якщо , 2) , якщо , 3) , якщо . У 3-му випадку – один з коренів квадратного тричлена . Знак «плюс» чи «мінус» в цих підстановках обирається в залежності від конкретного вигляду підінтегральної функції з огляду на те, щоб підінтегральна функція, яка отримується внаслідок підстановки, була якомога простішою. Слід, тем не менш, відмітити, що, як правило, підстановки Ейлера приводять до громіздких обчислень. Приклади. 1. . Зробимо підстановку: . Тоді, розв’язуючи відносно ірраціональне рівняння, дістанемо: , . Підставляючи під знак інтегралу, отримаємо інтеграл від раціональної функції:
(розкладання підінтегрального дробу на елементарні та знаходження невизначених коефіцієнтів виконайте самостійно). Для отримання остаточної відповіді залишилося тільки в останній вираз підставити вираз для . 2. . Зробимо підстановку: . Тоді: , . Підставляючи під знак інтеграла, дістаємо: . Повертаючись до змінної за формулою , отримаємо остаточну відповідь. 3. . Враховуючи те, що квадратний тричлен під знаком квадратного кореня має додатний дискримінант, і один з коренів цього тричлена , здійснимо підстановку: . Тоді, розв’язуючи ірраціональне рівняння відносно , знайдемо два його кореня: , . Зрозуміло, що перший з цих коренів обирати нема сенсу, тому: , , . Підставляючи під знак інтеграла, отримуємо інтеграл від раціональної функції: . Самостійно переконайтеся у тому, що цей інтеграл дорівнює: . Розглянемо тепер інтеграл вигляду: , (11.1) де – многочлен степеня . Покажемо, що цей інтеграл можна подати у вигляді: , (11.2) де – многочлен степеня з невизначеними коефіцієнтами, а – поки що також невизначене число. Диференцюючи тотожність (11.2), і, домножаючи після цього обидві частини рівності на , дістанемо: . (11.3) Зрівнюючи в (11.3) коефіцієнти при однакових степенях у лівій та правій частинах, визначимо коефіцієнти многочлена і число . Інтеграл в правій частині формули (11.2) відноситься до типу, який розглянуто в п. 6. Інтеграли вигляду , де , зводяться до інтегралу вигляду (11.1) підстановкою: .
Приклади. 1. . Згідно з формулою (11.2) маємо: , (11.4) де коефіцієнти підлягають визначенню. Рівність (11.3) у даному випадку набуває вигляду: . Розкриваючи дужки та зрівнюючи коефіцієнти при , отримаємо наступну систему відносно :
, , , .
Розв’язуючи цю систему, отримуємо: . Обчислимо тепер: . Підставляючи тепер до (11.4), дістаємо: . 2. .
|