Інтегрування ірраціональних функцій. Найпростіші випадки.

Інтегрування ірраціональних функцій задача набагато складніша, ніж інтегрування раціональних функцій. Більш того, далеко не завжди інтеграли від таких функцій можна виразити в елементарних функціях. Тем не менш в деяких випадках це можливо. Як правило, у таких інтегралах намагаються зробити заміну, яка дозволяла б позбутися ірраціональності. Зокрема інтеграли вигляду:

, де – раціональна функція своїх аргументів, можна звести до інтегралів від раціональної функції за допомогою підстановки:

,

де – спільний знаменник дробів .

Розглянемо приклади.

Приклади.

1.

.

2.

.

3.

.

Зводячи підінтегральний дріб до спільного знаменника і дорівнюючи отриманий чисельник до , отримаємо наступну систему рівнянь відносно коефіцієнтів :

Розв’язуючи цю систему, отримуємо: . Тому наш інтеграл набуває вигляду (з урахуванням коефіцієнта 4 перед ним):

.

Іноді доцільно використовувати тригонометричні підстановки:

4.

.

5.

.