Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде . Подставляя в уравнение получим Продифференцировав и сократив на получим характеристическое уравнение вида . Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения. Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней ,
то фундаментальная система решений состоит из функций и общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций.

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1) комплексных корней в фундаментальной системе решений отвечает пара функций
Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то такой паре в фундаментальной системе решений отвечают функции