Синтез фильтров ПАВ с линейной и нелинейной

ФАЗОЙ МЕТОДОМ ЧАСТОТНЫХ ВЫБОРОК

Метод синтеза ВШП на основе прямой свертки с весовой функ­цией хотя и позволяет проектировать фильтры с разнообразными характеристиками, но имеет ряд недостатков: отсутствие простой аналитической связи между параметрами весовой функции и по­лучаемыми параметрами фильтра; невозможность контроля час­тотных характеристик в переходных областях и отсутствие нагляд­ности аппроксимации, так как использование ряда Фурье пред­ставляет собой «скрытую» аппроксимацию.

В [54] описан метод синтеза фильтров ПАВ с произвольными АЧХ и ФЧХ, использующий аппроксимацию заданных частотных характеристик конечным комплексным рядом Котельникова [26].

Если импульсная характеристика ВШП h (t_n) определена на конечном интервале (— Т /2, Т /2), то передаточная функция H (ω) является спектром финитной функции. Воспользовавшись теоре­мой Котельникова [62], уравнение передаточной функции можно записать в виде

. (3.14)

Эта формула показывает, что для импульсной характеристики конечной длительности значение передаточной функции преобра­зователя на любой частоте определяется ее выборками в дискрет­ном множестве частотных точек ω _k = k 2π / T, где k =0, ±1, ±2, …, причем на интервале 2π F берется 2 A+ 1 = 2 FT+ 1 отсчетов с шагом Ω _k =2π / T Гц. При этом

. (3.15)

Для практических вычислений используется конечное число 2 Р +1 членов рада (3.14). Можно показать [58, 60], что при аппроксимации функции H (i ω), убывающей с заданной скоростью , на интервале (ω)< F конечной суммой (3.14) ошибка аппроксимации составляет

, (3.16)

где — среднеквадратическая ошибка.

В точках частотных выборок ω _k = k Ω _k функция ε _p(ω) обращает­ся в нуль, а ее максимумы растут по мере приближения к краям интервала — P Ω _k /2; P Ω _k /2. Максимумы ε _p(ω) легко вычислить из (3.16) при переменном δ _р. Таким образом, используя (3.16), мож­но оценить ошибку аппроксимации спектра финитной функции с помощью конечного числа членов ряда Котельникова. Функция ε _p(ω) не зависит от аппроксимируемой функции H (i ω) и опреде­ляется только ее полной энергией [62]. Если известны комплекс­ные выборки заданной функции H (i ω), то импульсная харак­теристика ВШП может быть получена с помощью обратного пре­образования Фурье действительных и мнимых частей выборок и в общем случае также будет иметь комплексный характер, т. е.

. (3.17)

На рис. 3.14 показаны элементарные частотные характеристи­ки ограниченного ряда (3.14), имеющие вид при и максимумы на центральных частотах 0; 1/ T_k; 2/ T_k, …, P / T.

Рис. 3.14 Фильтры ПАВ на основе частотной выборки:

a - элементарные импульсные характеристики; б - элементарные частотные характеристики

Элементарным слагаемым усеченного ряда (3.14) соответствуют импульсные характеристики при — T /2≤ t ≤ T /2. Каждая из элементарных передаточных функ­ций H_k (i ω) равна нулю на всех частотах выборок за исключением собственной центральной частоты. Поэтому результирующая пере­даточная функция H (i ω) на частотах выборок ω _k = k Ω _k опреде­ляется только одним из заданных отсчетов — величиной соответ­ствующей частотной выборки.

При решении задачи синтеза, когда задана только АЧХ преоб­разователя, удобнее считать его фазу нулевой. Тогда фаза каждой выборки будет также нулевой, т. е. является чисто действи­тельным числом. Реализация импульсной характеристики ВШП является наиболее простой, если она действительная. Для этого элементарные импульсные характеристики должны иметь вид

.

Косинусоидальной импульсной характеристикой обладает неаподизованный эквидистантный ВШП, ограниченный длительно­стью T_k. Поэтому результирующую характеристику (3.17) можно получить путем сложения эквидистантных ВШП в один составной ВШП, который в результате будет иметь взвешивание электродов как по перекрытию, так и по шагу (рис. 3.15). Для физической реализации импульсной характеристики

Рис 3 15. Построение составного преобразователя по методу частотной выборки

необходимо, чтобы она начиналась не при t=—T_k /2, а в момент t =0, что соответст­вует задержке во всем составном ВШП, в котором элементарные ВШП смещены по времени на T_k /2. При этих условиях импульс­ная характеристика составного аподизованного ВШП будет сим­метричной и иметь вид [4, 54]

, (3.18)

причем амплитуда D_k каждой косинусоиды связана с амплитудой H_k соответствующей выборки соотношением

,

где f_k, T_k, N_k = f_kT_k =2π f_k /Ω _k =(A_k —l)/2 соответственно частота элементарного ВШП, длительность и число периодов его импульс­ной характеристики; f_cp, T_cp, N_cp— аналогично для среднего ВШП. Для определения временного положения t_n центров электродов или зазоров аподизованного ВШП необходимо найти корни урав­нения

, (3.19)

а перекрытие соседних электродов определяется огибающей сум­марной косинусоиды в корневых точках t_n и вычисляется по фор­муле

. (3.20) Полная фаза импульсной характеристики составного ВШП является нелинейной, что указывает на взвешива­ние шага L_п преобразователя.

При заданной нулевой фазе θ ₃(ω)=0 преобразователя выбор­ки чисто действительные и его результирующая передаточная функция является скалярной суммой взвешенных функций sinc x_k, т. е.

, (3.21)

где . Импульсная характеристика ВШП при этом симметрична (табл. 3.5). Решение второй задачи синтеза, когда заданы амплитуда A ₃(ω) и фаза θ ₃(ω) передаточной функ­ции Н _з(i ω), распадается на два случая.

При линейной фазе преобразователя, имеющей нечетную сим­метрию относительно средней частоты ω _ср,

, 0≤ ω _k≤ 2ω _cp.

При нелинейной ФЧХ удобнее рассматривать отклонения фазы не от линейной, а от нулевой, поскольку любую линейную фазу мож­но преобразовать в нулевую добавлением или вычитанием пос­тоянной групповой задержки τ ₀. В обоих случаях выборки H_k бу­дут комплексными, а передаточная функция ВШП является век­торной суммой

,

где фаза определяется дополнительным смещением каждого элементарного ВШП на расстояние (табл. 3.5). По заданной ФЧХ смещение каждого преобразователя нахо­дится по формуле

при незначительном отличии частот ω _k выборок от ω _ср, на кото­рой . Как следует из формул, приведенных в табл. 3.5, АЧХ и импульсные характеристики составных ВШП с линейной и нелинейной фазой отличаются друг от друга при четном A_ср =2 N_ср и нечетном A_ср =2 N_ср +1 числе электродов, а их импульс­ные характеристики h (t) и огибающие перекрытия электродов е (t_п) определяются из (3.18) и (3.20) с заменой аргумента на и . Поскольку при линейной ФЧХ частоты ω _k расположены симметрично относительно ω _ср, то h (t_п) в этом случае будет сим­метрична, но при нелинейной ФЧХ — несимметрична (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Импульсные характеристики составного ВШП:

а — с линейной фазой; б —с нелинейной фазой

На основе рассмотренных выше положений разработаны алго­ритмы для синтеза фильтров ПАВ с произвольными частотными характеристиками.

Расчет фильтров ПАВ по методу частотных выборок ведется в следующей последовательности. Заданная передаточная функция фильтра разделяется на передаточные функции составляющих преобразователей, а необходимый интервал ω _н—ω _в изменения пе­редаточной функции каждого

Таблица 3.5. Расчет ВШП с линейной и нелинейной фазой методом частотной выборки

Заданная фаза ВШП	Фазочастотная характеристика	Амплитудно-частотная характеристика	Импульсная характеристика и ее вид
Нулевая: ;			симметричная относительно Tср /2
Линейная: ;			симметричнаяотносительно Tср /2
Нелинейная			несимметричная

ВШП разбивается на Р отрезков с шагом Ω _k=(ω _н—ω _в)/ P, выбранным из необходимой точности аппроксимации. Далее на частотах ω _k=ω _н+ k Ω _k, k =1, 2, 3,..., Р, вычисляются амплитуды H_k и фазы θ _k (ω) частотных выборок H (i ω _k), а также длительности T_k элементарных импульсных ха­рактеристик и по формуле (3.14) производится аппроксимация заданных передаточных функций преобразователя.

Непосредственное использование коэффициентов H_k ряда Котельникова приводит к значительной погрешности аппроксимации (до ±10¸ 15%), что вызывает появление пульсации АЧХ в полосе пропускания δ а =±1, 5 дБ и рост боковых лепестков до уровня a_б =-(23¸ 28) дБ. Поэтому в программу расчета следует ввести итерацию коэффициентов H_k, которую легко осуществить в широ­ком диапазоне при использовании ЭВМ.

Для ускорения сходимости процесса итерации в программе мо­жет использоваться метод последовательных приближений, сог­ласно которому получаемая при аппроксимации АЧХ A (ω) заме­няется функцией , где Е (ω)= A (ω)— A _з(ω), E _макc(ω)—максимальное значение функции ошибки Е (ω); ε — допустимое отклонение функции A _з(ω). Итерация коэффициентов H_k должна проводиться до тех пор, пока функция ошибки Е (ω) на всех частотах не уложится в заданные границы ±ε. Для дальнейшего улучшения аппроксимации целесообразно использовать оптимизацию частотных выборок, например, на основе симплекс-метода. После определения амплитуд H_k и фаз θ _k (ω) частотных выборок вычисляются окончательные АЧХ, ФЧХ и ГВЗ преобра­зователя, а также его импульсная характеристика h (t_п). Для оп­ределения координат центров электродов и их перекрытий ищутся корни t_п уравнения (3.19) и по формуле (3.20) вычисляется оги­бающая e (t_п) импульсной характеристики.

Координаты электродов аподизованного ВШП определяются следующим образом. Сначала вычисляется эффективная скорость ПАВ при постоянном соотношении d_n электрод/полупериод:

Затем U _эф1 уточняется с учетом неравномерного расположения электродов

где полупериод L_n = U _эф1(t_{n +1}- t_n).

Вычисляются координаты краев электродов по оси Х с учетом подтравки Δ b_n по их ширине:

x_{n л}= t_nU _{эф n} -0, 5(d_nL_n -D b_n),

x_{n л}= t_nU _{эф n} +0, 5(d_nL_n +D b_n).

Определяются координаты краев электродов по оси Y:

Если в состав фильтра входит неаподизованный ВШП, то его топология рассчитывается аналогично описанному в § 3.4.

Теоретическая и экспериментальная проверка расчета фильт­ров ПАВ методом частотных выборок проводилась на примере фильтра ФП3П0БП9-393-38, 0М5, 6 с линейной фазой, удовлетворя­ющего требованиям к УПЧИ советского телевизионного стандарта OIRТ. Фильтр строился из двух преобразователей, акустически связанных через многополосковый ответвитель (структура на рис. 2.2, з). При этом заданная несимметричная АЧХ фильтра форми­ровалась одним аподизованным ВШП1 с числом электродов A ₁ = 131, а второй преобразователь ВШП2 выбирался неаподизованным и имел малое число расщепленных электродов A ₂=28. При расчете АЧХ фильтра задавалась в виде ломаной кривой.

Для компенсации завала АЧХ фильтра, вызванного конечной шириной полосы пропускания неаподизованного ВШП2, частотные выборки H_k аподизованного ВШП1 корректировались умножением на функцию , k =1, 2,..., 12, обратную АЧХ второго пре­образователя.

Рис. 3.17. Расчетная 1 и экспериментальная 2 АЧХ фильтра ФП3П0БП9-393-38, 6МЗ, 6 (советский стандарт OIRТ) и его преобразователей ВШП 1—3 и ВШП2—4

Результирующие расчетные АЧХ преобразователя ВШП1 и экс­периментальная АЧХ фильтра в целом после шестикратной ите­рации коэффициентов H_k показаны на рис. 3.17. Звукопровод фильтра изготовлялся из ниобата лития YZ -среза.