Синтез преобразователей и фильтров ПАВ методом прямой свертки с весовой функцией

Метод прямой свертки с весовой функцией основан на разло­жении заданной передаточной функции в ряд Фурье, обеспечиваю­щей наилучшее среднеквадратическое приближение [55]. С целью уменьшения максимальной ошибки аппроксимации используется свертка реализуемой функции с выбранной весовой функцией. Метод прямой свертки широко применяется при синтезе антенн, цифровых фильтров и фильтров ПАВ благодаря своей простоте. В отличие от других (например, методов проб и ошибок, итераций и др.) метод прямой свертки обеспечивает хорошее приближение к заданной функции H ₃(ω) при числе δ -источников, близком к наи­меньшему. Рассмотрим применение метода для синтеза фильтров с линейной ФЧХ.

При линейной ФЧХ действительная R ₃(ω) и мнимая I ₃(ω) час­ти заданной передаточной функции ВШП будут иметь соответст­венно четную и нечетную симметрию относительно ω ₀. Разложе­ние в ряд Фурье R ₃(ω) и I ₃(ω) четной и нечетной функций имеет вид:

; .

При ограничении ряда числом членов, равным количеству элек­тродов ВШП (числу отсчетов в импульсной характеристике), по­лучаем

, (3.10)

где коэффициенты частичной суммы

,

, .

Поскольку при произвольной передаточной функции H ₃(i ω) ее действительная и мнимая части могут иметь очень сложный вид, то для упрощения операции интегрирования в (3.10) составляю­щие R ₃(ω) и I ₃(ω) целесообразно аппроксимировать отрезками ломаных линий. Еще более упрощаются вычисления, если заданы отсчеты передаточной функции на интервале 0≤ ω ≤ 2π F. В этом случае

, ,

.

Число членов ряда (3.10) определяется величиной интервала Ω _k=ω _s/ A между отсчетами H ₃(i ω), выбранными исходя из требуе­мой точности аппроксимации.

Реализуемая конечная импульсная характеристика h (nT ₀)пре­образователя получается путем умножения бесконечной импульс­ной характеристики на прямоугольную весовую функцию (рис. 3.1), где означает обратное преобразование Фурье. Так как умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области, результирующая передаточная функ­ция является сверткой заданной функции H ₃(i ω) с колебательной функцией и будет иметь пульсации у границ полосы пропускания, как показано на рис. 3.1. Эти колебания вблизи точек разрыва функции известны как явления Гиббса.

Рис. 3.1. Механизм подавления явления Гиббса:

а —заданная функция; б —дискретная ограниченная функция; в —весовая функция; г— конечный результат

С целью уменьшения максимальной ошибки аппроксимации заданной функции полином квадратического приближения типа (3.10) заменяется полиномом равномерного приближения [56]. Это достигается путем умножения каждого коэффициента ряда Фурье на множители сходимости или весовые функции. Поэтому явление Гиббса при расчете фильтров ПАВ следует ослаблять так­же путем умножения импульсной характеристики не на прямо­угольную, а на медленно изменяющуюся и ограниченную во вре­мени весовую функцию w (t) [43, 52], как показано на рис. 3.1. В этом случае передаточная функция ВШП принимает вид [52]

, (3.11)

а коэффициенты импульсной характеристики находятся из соотно­шений

, n =0, 1, 2, …, 0, 5(A -1)-1

, (3.12)

, n =0, 5(A -1)…(A -1).

Если заданная функция H ₃(i ω) действительная и симметричная относительно центральной частоты ω ₀, то β _n =0, а_п=α _п, и тогда

. (3.13)

Использование весовых функций вызывает расширение пере­ходной полосы Δ ω _s от области пропускания к области загражде­ния, причем Δ ω _s=Δ ω _в, где Δ ω _в—ширина главного лепестка спект­ра весовой функции по первым нулям, a F { }означает прямое преобразование Фурье. Поскольку все коэффици­енты ряда Фурье умножаются на одну и ту же весовую функцию, то результирующая передаточная функция будет иметь одинаковые пульсации в полосе пропускания ε _п и в полосе заграждения ε ₃, амплитуда же пульсаций определяется уровнем боковых лепестков a _б спектра W (ω) весовой функции. Исходя из сказанного, можно сформулировать следующие требо­вания к весовой функции:

функция w (t) должна быть плавно изменяющейся и ограни­ченной во временной области длительностью T, т. е. w (t)=0 при | t | > T /2;

в большинстве практических случаев весовая функция должна быть четной, т. е. ;

спектр W (ω) функции должен иметь минимальную ширину Δ ω _в главного лепестка и низкий уровень боковых лепестков a _б;

функция должна обеспечивать максимальное перекрытие элек­тродов ВШП во избежание искажений из-за дифракции пучка ПАВ.

Было исследовано большое количество весовых функций [43, 56, 57], которые по характеру воздействия на коэффициенты ряда Фурье можно разделить на четыре типа. Исходной является пря­моугольная весовая функция w ₁(t)=1, 0 при | t | ≤ T /2= T ₁ , которая имеет спектр W ₁(ω) = F{w₁(t)~sin х/х и дает уровень боковых лепестков результирующей передаточной функции всего лишь a _б =-21, 2 дБ.

К первому типу относятся функции, практически полностью исключающие явление Гиббса за счет сильного взвешивания результирующего спектра. Виды этих функций и их модификаций приве­дены на рис. 3.2, а в табл. 3.1 представлены основные параметры результирующей АЧХ преобразователя, полученные с использованием указанных функций. В табл. 3.1 (как и в последующих табл.3.2—3.4) результирующая импульсная характеристика симметрич­ного аподизованного ВШП определялась как при и изменении времени в пределах половины общей длительности, т. е. 0≤ | t |≤ T ₁= T /2. Протяженность импульсной характеристики

Рис. 3.2. Весовые функции пер- Рис. 3.3. Весовые функции вто-

вого типа, обеспечивающие пол- рого типа (с узким спектром)

ное подавление явления Гиббса

ВШП ограничивалась числом лепестков CS =4 в каждую сторону от центра симметрии, а число нерасщепленных электродов в каждом лепестке В _р=25 при их общем числе в пре­образователе A=2N+ 1=2 В _р CS +1. Для облегчения выбора весо­вых функций в табл. 3.1—3.4 приведены относительные величины перекрытий h_{cs макс} электродов в каждом из лепестков преобразо­вателя.

Ко второму типу принадлежат функции, имеющие минималь­ную ширину Δ ω _в главного лепестка спектра W (ω) при заданных уровне боковых лепестков a _б и длительности Т импульсного откли­ка. Оптимальной с этой точки зрения является функция Мааса [57], которая применительно к фильтрам ПАВ определяется в час­тотной области выражением

Однако ее импульсная характеристика w _M(t)= F ^-1{ W _M(f)}, служащая собственно весовой функцией, физически не реализуема, так как на краях интервала Т имеет выбросы бесконечной величины. Функцию Мааса можно аппроксимировать, используя различные полиномы. Одной из наиболее точных аппроксимаций является функция Дольфа—Чебышева [52, 57],

Таблица 3.1. Весовые функции, исключающие явление Гиббса

Функция	№ функ­ции	D fi / f 0	Кп 40/3, дБ	- а б, дБ	dа, дБ	hCS макс
3 дБ	40 дБ	60 дБ	CS =2	CS =3	CS =4
´ 10	´ 100	´ 1000
1, 0		0, 038	0, 044	0, 044	1, 02	21, 8	1, 44	2, 17	12, 8	91, 2
, r =1, T 1= T /2		0, 036	0, 105	¾	2, 78	—	—	1, 39	4, 96	13, 0
, r =4		0, 036	0, 046	0, 046	1, 26	23, 5	0, 69	2, 13	10, 9	4, 12
, r =6		0, 037	0, 046	0, 046	1, 24	22, 5	0, 87	2, 16	12, 6	53, 7
, r =8		0, 038	0, 046	0, 046	1, 23	21, 9	0, 96	2, 17	12, 5	62, 8
, r =2		0, 035	0, 141	—	4, 00	—	—	2, 12	19, 9	22, 2
, r =0, 439		0, 037	0, 050	0, 051	1, 35	30, 2	0, 31	1, 78	3, 71	37, 7
, r =0, 2		0, 038	0, 046	0, 046	1, 23	28, 8	0, 75	1, 98	10, 5	60, 5
, r =0, 439		0, 038	0, 150	—	3, 95	—	0, 28	1, 32	6, 20	26, 7
, r =2		0, 035	0, 054	0, 054	1, 54	39, 1	0, 13	1, 65	5, 07	7, 38
, r =4		0, 038	0, 050	0, 050	1, 32	25, 0	0, 57	2, 02	7, 11	63, 4
, t2=0, 5 T		0, 037	0, 048	0, 048	1, 30	23, 4	0, 65	2, 17	9, 92	26, 1
, t2=0, 8 T		0, 038	0, 046	0, 046	1, 23	21, 2	0, 97	2, 17	12, 8	65, 4
		0, 034	0, 123	—	3, 62	—	—	1, 02	1, 69	1, 85
, n =1, 2, …, A		0, 042	—	—	—	—	—	4, 4´ 10-4	1, 53´ 10-4	0, 2´ 10-4

Таблица 3.2. Весовые функции с узким спектром

Функция	№ функ­ции	D fi / f 0	Кп 40/3, дБ	- а б, дБ	dа, дБ	hCS макс
3 дБ	40 дБ	60 дБ	CS =2	CS =3	CS =4
´ 10	´ 100	´ 1000
, r =1		0, 036	0, 062	0, 063	1, 77	43, 0	0, 10	1, 5	5, 34	27, 8
, r =2		0, 036	0, 052	0, 054	1, 44	52, 0	0, 04	1, 7	5, 86	1, 67
, r =3		0, 036	0, 057	0, 060	1, 62	72, 0	5´ 10-3	1, 5	3, 73	6, 03
, r =4		0, 035	0, 060	0, 066	1, 71	94, 0	12´ 10-4	1, 3	2, 40	2, 23
, r =6		0, 034	0, 066	0, 073	1, 97		2´ 10-6	1, 07	1, 02	0, 32
, L =9, r =2		0, 036	0, 054	0, 058	1, 50	54, 0	2x10-2	1, 6	5, 52	17, 1
, L =20, r =3		0, 035	0, 057	0, 061	1, 61	73, 0	3x10-3	1, 5	3, 96	5, 24
, F =0, 37		0, 036	0, 054	0, 058	1, 50	54, 0	2x10-2	1, 6	5, 52	17, 1
, F =0, 4		0, 036	0, 054	0, 056	1, 50	57, 0	0, 01	1, 6	5, 23	14, 1
, F =0, 5		0, 035	0, 055	0, 056	1, 57	47, 0	0, 08	1, 5	4, 33	5, 59
, , r =1		0, 034	0, 051	0, 052	1, 43	42, 0	0, 13	1, 7	6, 34	15, 5

Окончание табл. 3.2

Функция	№ функ­ции	D fi / f 0	Кп 40/3, дБ	- а б, дБ	dа, дБ	hCS макс
3 дБ	40 дБ	60 дБ	CS =2	CS =3	CS =4
´ 10	´ 100	´ 1000
, , r =2		0, 035	0, 056	0, 058	1, 62	55, 0	0, 02	1, 4	3, 28	3, 28
, , r =3		0, 034	0, 061	0, 066	1, 81	70, 7	6´ 10-3	1, 2	1, 74	0, 75

Таблица 3.3. Весовые функции с наложением спектров

Функция	№ функ­ции	D fi / f 0	Кп 40/3, дБ	- а б, дБ	dа, дБ	hCS макс
3 дБ	40 дБ	60 дБ	CS =2	CS =3	CS =4
´ 10	´ 100	´ 1000
, r =1		0, 036	0, 051	0, 052	1, 40	33, 5	0, 21	1, 83	7, 36	20, 8
, r =2		0, 036	0, 055	0, 054	1, 54	44, 0	0, 08	1, 56	4, 33	5, 59
, r =3		0, 035	0, 058	0, 060	1, 67	53, 1	0, 02	1, 34	2, 61	1, 62
		0, 036	0, 054	0, 056	1, 52	44, 0	0, 08	1, 56	4, 28	5, 35
		0, 036	0, 057	0, 060	1, 62	73, 0	3´ 10-3	1, 47	3, 81	6, 34
		0, 036	0, 056	0, 059	1, 60	63, 0	7´ 10-3	1, 48	3, 88	6, 01
		0, 036	0, 056	0, 058	1, 56	57, 0	0, 01	1, 49	9, 95	5, 93
		0, 035	0, 054	0, 055	1, 54	52, 0	0, 04	1, 62	5, 08	11, 7
		0, 036	0, 051	0, 052	1, 37	34, 2	0, 21	1, 84	7, 52	22, 8
		0, 038	0, 054	0, 059	1, 46	53, 0	0, 03	1, 65	5, 58	17, 8

Окончание табл. 3.3

Функция	№ функ­ции	D fi / f 0	Кп 40/3, дБ	- а б, дБ	dа, дБ	hCS макс
3 дБ	40 дБ	60 дБ	CS =2	CS =3	CS =4
´ 10	´ 100	´ 1000
		0, 036	0, 055	0, 056	1, 53	51, 3	0, 04	1, 61	4, 93	11, 2
		0, 035	0, 058	0, 060	1, 68	53, 0	0, 03	1, 35	2, 75	2, 28
		0, 033	0, 059	0, 064	1, 82	76, 0	3´ 10-3	1, 30	2, 61	2, 41
		0, 035	0, 034	0, 056	1, 53	52, 0	0, 04	1, 35	2, 72	1, 71
		0, 034	0, 049	0, 051	1, 46	72, 0	4´ 10-3	1, 45	3, 42	5, 53

Таблица 3.4. Весовые функции с двойной ортогональностью

Функция	№ функ­ции	D fi / f 0	Кп 40/3, дБ	- а б, дБ	dа, дБ	hCs макс
3 дБ	40 дБ	60 дБ	CS =2	CS =3 ´ 100	CS =4 ´ 1000
´ 10	´ 100	´ 1000
, r =5		0, 036	0, 054	0, 056	1, 51	53, 6	0, 02	1, 62	5, 14	1, 16
, r =6		0, 036	0, 055	0, 058	1, 57	62, 0	0, 01	1, 52	4, 21	7, 33
, r =7		0, 037	0, 058	0, 061	1, 59	70, 0	0, 01	1, 49	3, 44	4, 69
, r =4		0, 034	0, 061	0, 067	1, 77	75, 8	3´ 10-3	1, 31	2, 94	4, 86
, r =3		0, 036	0, 057	0, 063	1, 61	61, 5	0, 01	1, 48	4, 20	9, 88
, r =10		0, 032	0, 073	0, 083	2, 28	142, 6	1´ 10-5	0, 67	0, 03	0, 08

Окончание табл. 3.4

, r =20		0, 031	0, 086	0, 097	2, 75	—	—	0, 25	1, 8x 10-3	1, 6x 10-4
, r =4		0, 036	0, 482	0, 049	1, 31	24, 0	0, 66	2, 12	9, 08	1, 75
, r =4		0, 036	0, 052	0, 052	1, 44	30, 0	0, 42	1, 81	5, 22	7, 71
, r =4		0, 034	0, 062	0, 068	1, 83	78, 6	2x10-3	1, 30	2, 85	4, 32

которая применительно к ВШП из A электродов принимает вид

,

где k =0, 1, 2,..., А— 1; r— является параметром функции, связан­ным с уровнем боковых лепестков спектра W _Ч (w) соотношением r =20 lg e₃, ; D_P (z) — полином Чебышева степени Р = А— 1; D_P (z) = соs[ P arccos (z)] при | z |£ 1 и D_P (z) = сh[ P arc ch (z)] при | z |> 1. Весовые функции Дольфа—Чебы­шева позволяют ослабить боковые лепестки результирующей АЧХ преобразователя до a_б =-(60¸ 80) дБ в зависимости от значения параметра r. Однако реализация функций с по­мощью ВШП затруднена, так как они имеют на краю интервала Т резкий скачок. Скачок меньшей величины за счет постепенного убывания боковых лепестков спектра W (w) дает весовая функ­ция Тейлора, аппроксимирующая идеальную функцию Мааса с до­статочной точностью и имеющая вид (рис. 3.3)

,

где

,

где L _т — число членов аппроксимации Тейлора; параметр l _т свя­зан с уровнем e₃=10^{- r} боковых лепестков функции соотношением ; переменная х =cos(p t / Т) и параметр . Для получения боковых ле­пестков спектра W _T(w) величиной a _б=20 lge₃»—40 дБ необходи­мо использовать L _T³ 12 членов ряда, но это значительно услож­нит использование функции w _T(t) и ее модификаций w ₂₁(t), w ₂₂(t).

С целью упрощения расчетов главный лепесток спектра функ­ции Мааса с хорошим приближением удалось аппроксимировать модифицированной функцией [57]

откуда , где r =2 F ₁ и e_м—уровень пуль­сации функции Мааса. Уровень e₃ пульсации модифицированной функции W _{М МОД}(w) связан с уровнем e_м соотношением —lg(e_м)»— 0, 915 lg(e₃)— 0, 251.

По заданному уровню пульсации e_м можно определить необхо­димую длительность импульсной характеристики T»1/pD f _вArc ch (1/e_м).

При различных значениях параметра r =2 F ₁ функции w ₂₁(t)- w ₂₃(t) обеспечивают расчетный уровень боковых лепестков ре­зультирующей АЧХ около а _б=—(40¸ 60) дБ и не имеют резких выбросов на краях.

В весовых функциях третьего типа для подавления пульсации из-за явления Гиббса используется противофазное сложение не­скольких спектров составляющих функций. Суммарный спектр та­кой весовой функции представляет собой усеченный ряд Котельникова. Путем подбора числа и весов членов ряда удалось синтези­ровать весовые функции w ₂₉(t)- w ₄₃(t), обеспечивающие а _б=—(50¸ 70) дБ (рис.3.4, табл. 3.3).

Например, используя три составляющие спектра, сдвинутые относительно друг друга на 2p/ Т, можно добиться сильного подав­ления пульсации от двух крайних составляющих, если их величи­на будет вдвое меньше средней составляющей, т. е. если

Рис. 3.4. Весовые функции треть- Рис. 3.5. Весовые функции с двой- его типа (с наложением спектров) ной ортогональностью