Синтез преобразователей и фильтров ПАВ методом прямой свертки с весовой функцией

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Метод прямой свертки с весовой функцией основан на разложении заданной передаточной функции в ряд Фурье, обеспечивающей наилучшее среднеквадратическое приближение [55]. С целью уменьшения максимальной ошибки аппроксимации используется свертка реализуемой функции с выбранной весовой функцией. Метод прямой свертки широко применяется при синтезе антенн, цифровых фильтров и фильтров ПАВ благодаря своей простоте. В отличие от других (например, методов проб и ошибок, итераций и др.) метод прямой свертки обеспечивает хорошее приближение к заданной функции H ₃(ω) при числе δ -источников, близком к наименьшему. Рассмотрим применение метода для синтеза фильтров с линейной ФЧХ.

При линейной ФЧХ действительная R ₃(ω) и мнимая I ₃(ω) части заданной передаточной функции ВШП будут иметь соответственно четную и нечетную симметрию относительно ω ₀. Разложение в ряд Фурье R ₃(ω) и I ₃(ω) четной и нечетной функций имеет вид:

При ограничении ряда числом членов, равным количеству электродов ВШП (числу отсчетов в импульсной характеристике), получаем

Поскольку при произвольной передаточной функции H ₃(i ω) ее действительная и мнимая части могут иметь очень сложный вид, то для упрощения операции интегрирования в (3.10) составляющие R ₃(ω) и I ₃(ω) целесообразно аппроксимировать отрезками ломаных линий. Еще более упрощаются вычисления, если заданы отсчеты передаточной функции

на интервале 0≤ ω ≤ 2π F. В этом случае

Число членов ряда (3.10) определяется величиной интервала Ω _k=ω _s/ A между отсчетами H ₃(i ω), выбранными исходя из требуемой точности аппроксимации.

Реализуемая конечная импульсная характеристика h (nT ₀)преобразователя получается путем умножения бесконечной импульсной характеристики

на прямоугольную весовую функцию (рис. 3.1), где

означает обратное преобразование Фурье. Так как умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области, результирующая передаточная функция является сверткой заданной функции H ₃(i ω) с колебательной функцией и будет иметь пульсации у границ полосы пропускания, как показано на рис. 3.1. Эти колебания вблизи точек разрыва функции известны как явления Гиббса.

а —заданная функция; б —дискретная ограниченная функция; в —весовая функция; г— конечный результат

С целью уменьшения максимальной ошибки аппроксимации заданной функции полином квадратического приближения типа (3.10) заменяется полиномом равномерного приближения [56]. Это достигается путем умножения каждого коэффициента ряда Фурье на множители сходимости или весовые функции. Поэтому явление Гиббса при расчете фильтров ПАВ следует ослаблять также путем умножения импульсной характеристики не на прямоугольную, а на медленно изменяющуюся и ограниченную во времени весовую функцию w (t) [43, 52], как показано на рис. 3.1. В этом случае передаточная функция ВШП принимает вид [52]

а коэффициенты импульсной характеристики находятся из соотношений

Если заданная функция H ₃(i ω) действительная и симметричная относительно центральной частоты ω ₀, то β _n =0, а_п=α _п, и тогда

Использование весовых функций вызывает расширение переходной полосы Δ ω _s от области пропускания к области заграждения, причем Δ ω _s=Δ ω _в, где Δ ω _в—ширина главного лепестка спектра

весовой функции по первым нулям, a F { }означает прямое преобразование Фурье. Поскольку все коэффициенты ряда Фурье умножаются на одну и ту же весовую функцию, то результирующая передаточная функция

будет иметь одинаковые пульсации в полосе пропускания ε _п и в полосе заграждения ε ₃, амплитуда же пульсаций определяется уровнем боковых лепестков a _б спектра W (ω) весовой функции. Исходя из сказанного, можно сформулировать следующие требования к весовой функции:

функция w (t) должна быть плавно изменяющейся и ограниченной во временной области длительностью T, т. е. w (t)=0 при | t | > T /2;

в большинстве практических случаев весовая функция должна быть четной, т. е.

;

спектр W (ω) функции должен иметь минимальную ширину Δ ω _в главного лепестка и низкий уровень боковых лепестков a _б;

функция должна обеспечивать максимальное перекрытие электродов ВШП во избежание искажений из-за дифракции пучка ПАВ.

Было исследовано большое количество весовых функций [43, 56, 57], которые по характеру воздействия на коэффициенты ряда Фурье можно разделить на четыре типа. Исходной является прямоугольная весовая функция w ₁(t)=1, 0 при | t | ≤ T /2= T ₁, которая имеет спектр W ₁(ω) = F{w₁(t)~sin х/х и дает уровень боковых лепестков результирующей передаточной функции всего лишь a _б =-21, 2 дБ.

К первому типу относятся функции, практически полностью исключающие явление Гиббса за счет сильного взвешивания результирующего спектра. Виды этих функций и их модификаций приведены на рис. 3.2, а в табл. 3.1 представлены основные параметры результирующей АЧХ преобразователя, полученные с использованием указанных функций. В табл. 3.1 (как и в последующих табл.3.2—3.4) результирующая импульсная характеристика симметричного аподизованного ВШП определялась как

при

и изменении времени в пределах половины общей длительности, т. е. 0≤ | t |≤ T ₁= T /2. Протяженность импульсной характеристики

Рис. 3.2. Весовые функции пер- Рис. 3.3. Весовые функции вто-

вого типа, обеспечивающие пол- рого типа (с узким спектром)

ВШП ограничивалась числом лепестков CS =4 в каждую сторону от центра симметрии, а число нерасщепленных электродов в каждом лепестке В _р=25 при их общем числе в преобразователе A=2N+ 1=2 В _р CS +1. Для облегчения выбора весовых функций в табл. 3.1—3.4 приведены относительные величины перекрытий h_cs _макс электродов в каждом из лепестков преобразователя.

Ко второму типу принадлежат функции, имеющие минимальную ширину Δ ω _в главного лепестка спектра W (ω) при заданных уровне боковых лепестков a _б и длительности Т импульсного отклика. Оптимальной с этой точки зрения является функция Мааса [57], которая применительно к фильтрам ПАВ определяется в частотной области выражением

Однако ее импульсная характеристика w _M(t)= F ^-1{ W _M(f)}, служащая собственно весовой функцией, физически не реализуема, так как на краях интервала Т имеет выбросы бесконечной величины. Функцию Мааса можно аппроксимировать, используя различные полиномы. Одной из наиболее точных аппроксимаций является функция Дольфа—Чебышева [52, 57],

Таблица 3.1. Весовые функции, исключающие явление Гиббса

Таблица 3.2. Весовые функции с узким спектром

Таблица 3.3. Весовые функции с наложением спектров

Таблица 3.4. Весовые функции с двойной ортогональностью

которая применительно к ВШП из A электродов принимает вид

где k =0, 1, 2,..., А— 1; r— является параметром функции, связанным с уровнем боковых лепестков спектра W _Ч (w) соотношением r =20 lg e₃,

; D_P (z) — полином Чебышева степени Р = А— 1; D_P (z) = соs[ P arccos (z)] при | z |£ 1 и D_P (z) = сh[ P arc ch (z)] при | z |> 1. Весовые функции Дольфа—Чебышева позволяют ослабить боковые лепестки результирующей АЧХ преобразователя до a_б =-(60¸ 80) дБ в зависимости от значения параметра r. Однако реализация функций

с помощью ВШП затруднена, так как они имеют на краю интервала Т резкий скачок. Скачок меньшей величины за счет постепенного убывания боковых лепестков спектра W (w) дает весовая функция Тейлора, аппроксимирующая идеальную функцию Мааса с достаточной точностью и имеющая вид (рис. 3.3)

где L _т — число членов аппроксимации Тейлора; параметр l _т связан с уровнем e₃=10^{- r} боковых лепестков функции соотношением

; переменная х =cos(p t / Т) и параметр

. Для получения боковых лепестков спектра W _T(w) величиной a _б=20 lge₃»—40 дБ необходимо использовать L _T³ 12 членов ряда, но это значительно усложнит использование функции w _T(t) и ее модификаций w ₂₁(t), w ₂₂(t).

С целью упрощения расчетов главный лепесток спектра функции Мааса с хорошим приближением удалось аппроксимировать модифицированной функцией [57]

откуда

, где r =2 F ₁ и e_м—уровень пульсации функции Мааса. Уровень e₃ пульсации модифицированной функции W _{М МОД}(w) связан с уровнем e_м соотношением —lg(e_м)»— 0, 915 lg(e₃)— 0, 251.

По заданному уровню пульсации e_м можно определить необходимую длительность импульсной характеристики T»1/pD f _вArc ch (1/e_м).

При различных значениях параметра r =2 F ₁ функции w ₂₁(t)- w ₂₃(t) обеспечивают расчетный уровень боковых лепестков результирующей АЧХ около а _б=—(40¸ 60) дБ и не имеют резких выбросов на краях.

В весовых функциях третьего типа для подавления пульсации из-за явления Гиббса используется противофазное сложение нескольких спектров составляющих функций. Суммарный спектр такой весовой функции представляет собой усеченный ряд Котельникова. Путем подбора числа и весов членов ряда удалось синтезировать весовые функции w ₂₉(t)- w ₄₃(t), обеспечивающие а _б=—(50¸ 70) дБ (рис.3.4, табл. 3.3).

Например, используя три составляющие спектра, сдвинутые относительно друг друга на 2p/ Т, можно добиться сильного подавления пульсации от двух крайних составляющих, если их величина будет вдвое меньше средней составляющей, т. е. если

Рис. 3.4. Весовые функции треть- Рис. 3.5. Весовые функции с двой- его типа (с наложением спектров) ной ортогональностью