Характеристики преобразователей и фильтров ПАВ с линейной и нелинейной фазой

Из табл. 2.2 и 2.4 видно, что из существующих типов преобразо­вателей с различными методами взвешивания наиболее разнооб­разные характеристики можно реализовать с помощью эквидис­тантных аподизованных ВШП, что и обусловило их широкое при­менение при проектировании фильтров ПАВ. Поэтому в дальней­шем мы будем рассматривать только этот тип преобразователей. В качестве же отправного момента при анализе основных свойств апо­дизованных ВШП будут использоваться уравнения (2.4) и (2.5), описывающие его дискретизированную импульсную характеристику, периодическую передаточную функцию и соответствующие характе­ристики идеального трансверсального фильтра.

Во многих случаях на практике (например, в радиолокации) возникает необходимость предотвратить существенные искажения формы несинусоидального сигнала, проходящего через фильтр. Как уже указывалось, для этого требуется, чтобы ФЧХ фильтра в по­лосе пропускания была линейной или, что то же самое, чтобы ГВЗ в пределах полосы пропускания Dw=w_в-w_н было постоянным, т. е. t(w)= С =const [25].

Одним из преимуществ фильтров ПАВ является возможность получения разнообразных АЧХ, в том числе и несимметричных, при линейной ФЧХ. С точки зрения простоты расчетов и технологии изготовления наиболее удобным для реализации заданных харак­теристик фильтров ПАВ является эквидистантный ВШП, у которо­го центры электродов или зазоров отстоят друг от друга на оди­наковый интервал T ₀=2p/w_s, представляющий собой в этом слу­чае интервал дискретизации для непрерывного сигнала h _a(t).

Уравнения для импульсной характеристики и передаточной функции эквидистантного ВШП при t_n = nT₀ являются парой ди­скретного преобразования Фурье и принимают вид

(2.44)

и

, (2.45)

где —интервал между частотными выборками; a_п— коэффициенты комплексной импульсной характеристики с учетом изменения полярности временных выборок.

Определим ВШП с линейной фазой как устройство, передаточ­ную функцию которого можно записать в форме [24, 40]:

, (2.46)

где D (w) — действительная величина. Так как D (w) может при­нимать и отрицательные значения, то АЧХ A (w) преобразователя связана с величиной D (w) соотношением .

Для получения линейной ФЧХ фильтра ПАВ необходимо, что­бы фазовые характеристики входящих в его состав ВШП были также линейны или изменялись по законам, дающим при сумми­ровании линейную комбинацию. Можно показать, что единствен­ными решениями для коэффициентов В _П и С в передаточной функ­ции ВШП, аналогичной по виду функции устройства с линейной фазой, являются С =(А —1)/2 и В _П=0 или В _П=p/2. Если В _П=0, импульсная характеристика ВШП является четной относительно центра, т. е. , n= 0, 1, 2,..., A -1, и если В _П=p/2— нечетной, т. е. .

В табл. 2.5 приведены возможные варианты построения ВШП [40] в зависимости от четного или нечетного количества электро­дов A, определяющие действительный или мнимый характер его передаточной функции и четность или нечетность последней. При выводе уравнений передаточных функций предполагалось, что d-источники располагаются в центрах электродов (сильный пьезоэлектрик).

Примером структуры с действительной четной передаточной функцией является неаподизованный ВШП с нечетным числом электродов A= 2 N +l. В этом случае , n= 0, 1, 2,..., A -1, и

. (2.47)

Мнимой передаточной функцией обладает неаподизованный ВШП с четным числом электродов A= 2 N, для которого и

(2.48)

Для модели с d-источниками в центре зазоров (слабые пьезоэлектрики) выражение (2.47) будет описывать передаточную функцию для ВШП с четным числом электродов A= 2 N, a (2.48) — для ВШП с нечетным числом электродов A=2N+ 1.

На рис 2.9 показаны последовательности отсчетов импульсной характеристики h (nT _o) для возможных вариантов построения ВШП с линейной фазой, а также сдвинутые последовательности коэффи­циентов g _n, c _n, m _n, n _n и соответствующие каждому варианту типич­ные частотные характеристики .

Как видно из табл. 2.5 и рис. 2.9, где условие линейно­сти фазы эквидистантного ВШП накладывает ограничения на ре­ализуемые частотные характеристики: они обладают либо четной, либо нечетной симметрией относительно w₀. Однако требуемые на практике характеристики фильтров не ограничиваются названны­ми типами. В радиолокации при обработке сигналов требуются фильтры с АЧХ, симметричные относительно w₀, но с нелинейной, например, квадратичной ФЧХ. В технике связи широко использу­ются фазокорректоры, обладающие различными ФЧХ при несимметричных АЧХ и т. п.

В общем случае произвольной импульсной характеристики ВШП последовательность ее коэффициентов можно представить как сумму двух последовательностей, одна из которых является четной относительно центра, а другая-нечетной, т. е. (-1) ⁿh (nT ₀)= а_n =a _n +b _n и (-1) ⁿh [(A -1- n) T ₀] a_{A -1- n} =a _n -b _n. В результате подстановки новых коэффициентов а_n в (2.40) и использования тригонометрических тождеств выражение для передаточной функ­ции преобразователя трансформируется к виду, Таблица 2.5. Передаточные функции и импульсные характеристики эквидистантных ВШП с линейной и нелинейной фазой

Вариант построения ВШП	Передаточная функция преобразователя	Коэффициенты импульсной характеристики
Вид	Характер
Вариант 1		Четная и действительная	, n =1, 2, 3,..., N =(A -1)/2
Вариант 2 A=2N		Нечетная и действи­тельная	n =1, 2, 3,..., N, N = A /2
Вариант 3		Нечетная и мнимая	, , n =1, 2, 3,..., N, N =(A -1)/2
Вариант 4 A =2N		Четная и мнимая	, n =0, 1, 2,..., (A -1)
Вариант 5		Комплекс­ная	n =1, 2, 3,..., (A -1)
Вариант 6 A =2N		Комплекс­ная	n =1, 2, 3,..., (A -1)

указанному в табл. 2.5, откуда видно, что передаточная функция эквидистантно­го ВШП как с четным A =2 N, так и нечетным А =2 N +1 числом электродов состоит из действительной и мнимой частей. При этом действительная часть R (w) обладает четной симметрией относи­тельно w₀, мнимая I (w)-нечетной. ФЧХ без учета постоянной задержки определяется из выражения q(w)=arctg(I (w)/ R (w)) и в общем случае является нелинейной, причем q(w) удобнее рассмат­ривать как линейную функцию с наложенной девиацией Dq(w). Наклон ФЧХ зависит только от числа электродов ВШП, а девиа­ция определяется также и коэффициентами a _n и b _n. Таким обра­зом с помощью эквидистантных ВШП можно реализовать раз­личные АЧХ как при линейной, так и нелинейной фазе.

Рис. 2.9. Последовательность отсчетов импульсной характеристики ВШП с ли­нейной фазой