Представление встречно-штыревого преобразователя в виде трансверсального фильтра

После определения структурной схемы фильтра и нахождения передаточных функций, а также методов взвешивания составля­ющих его преобразователей необходимо выбрать критерии бли­зости заданных и реализуемых характеристик. Следующим весь­ма важным шагом является выбор физико-математической моде­ли, описывающей работу ВШП с точностью, удовлетворяющей этим критериям.

Несмотря на то что ВШПбыл предложен сравнительно давно и хорошо зарекомендовал себя, точное математическое описание его работы не найдено из-за сложности побочных явлений, сопро­вождающих возбуждение и распространение ПАВ в анизотроп­ных пьезоэлектриках: взаимодействие электродов преобразова­теля между собой, краевые эффекты и одновременная генерация паразитных ОАВ при возбуждении ПАВ, регенерация, дифрак­ция, дисперсия и многократные отражения ПАВ от электродов, различие скоростей волн на свободной и металлизированной поверхности и т. п.

Кроме того, что самое важное, большинство упрощенных мо­делей не учитывают аналоговый характер ВШП, что, по сути, яв­ляется эффектом первого порядка. Поэтому часто сначала рас­чет ВШП вплоть до определения топологии ведется по одной мо­дели, а затем уточняется с привлечением других моделей, напри­мер, учитывающих те или иные эффекты второго порядка.

Большинство физико-математических моделей, используемых для расчета электрических параметров и топологии ВШП, осно­вано на представлении последнего в виде идеального трансверсального фильтра. Наиболее наглядно такое представление мож­но рассмотреть на примере модели d-источников, независимо пред­ложенной А. В. Ковалевым и И. Б. Яковкиным [42], а также Р. Танкриллом и М. Холландом [43] и позволяющей сравнитель­но просто установить связь между электрическими параметрами и топологией преобразователя.

В исходной модели d-источников предполагается [42—4б], что при возбуждении ВШП электрическим напряжением его электро­ды являются дискретными источниками акустической энергии, опи­сываемыми d-функциями, заданными на краях каждого штыря. С каждого края штыря излучается плоская волна, распространяюща­яся вдоль нормали к краю электрода. Амплитуда a_n d-источни­ков пропорциональна электрическому заряду, определяемому степенью перекрытия штырей, а волна на выходе передающего ВШП является суперпозицией плоских волн, создаваемых каждым d-источником и следуемых с задержкой T ₀. Сигнал же на вы­ходе приемного ВШП представляется суммой сигналов, возника­ющих в результате прохождения всех указанных волн мимо каж­дого из его электродов, которые в этом случае являются дискрет­ными детекторами акустических волн и действуют как отводы трансверсального фильтра.

Расчеты электрического поля, создаваемого преобразователем [36, 37, 46, 47], показали, что распределение поля по поверхности пьезоэлектрика не является равномерным на электродах и в за­зоре между ними, как считалось в исходной модели d-источников [42, 44], а описывается сложной функцией, состоящей из синфаз­ной Е_с (х) и ортогональной E_s (x) составляющих. Кроме того, од­нородное распределение заряда нарушается на краях ВШП (рис. 2.3, а, б). Подобное распределение составляющих компонент E_s (x_n) и Е_с (х_п) делает правомерной замену реального распреде­ления электрического поля двумя дискретными d-источниками, расположенными на краях штырей, так как напряженность поля максимальна вблизи границы электрод—зазор, но ухудшает при­ближение исходной модели. Для упрощения расчета преобразова­теля два d-источника одной полярности, принадлежащих одному электроду или зазору, часто объединяют в один, расположенный в центре электрода или зазора (рис. 2.3, б). В зависимостиот зна­чения коэффициента электромеханической связи k_s вреальных пьезоэлектрикахпреобладает тангенциальная или нормальная составляющая толя. Поэтому можно считать, что поверхностная волна в пьезоэлектрике со слабой связью (E_c (x_n)»0) возбужда­ется гармоническими d-источниками, расположенными в

Рис. 2.3. Распределение электрического поля для ВШП на наиобате лития:

а —приближенное [36]; б—точное [46]; в— объединение одноименных d-источников; г —связь между временами выборки и положением электродов

зазоров ВШП, а в пьезоэлектриках с сильной связью (E_s (x_n) » 0)d-источниками, расположенными в центрах электродов (рис.2.3, г).

Знак суммарного d-источника определяется знаком поля E_c, _s (x_n)в n -м зазоре или на п- м. штыре, а фаза — координатой x_п цен­тра зазора или штыря. Амплитуда а (х_п) суммарного d-источника пропорциональна величине перекрытия электродов е (x_п). В ре­зультате волна, распространяющаяся от d-источников вдоль поло­жительного направления оси X, описывается выражением , а волна, распространяющаяся в обратном направлении, является комплексно-сопряженной.

Так как поверхностная волна, излучаемая преобразователем, представляет собой суперпозицию плоских волн от каждого гармонического d-источника, а величина электрического поля, выз­ванного акустической волной, пропорциональна ее амплитуде, то напряжение на выходе ВШП при использовании временных коор­динат t = x / V_f

,

где u ₀ — максимальное напряжение на выходе преобразователя, t_n— задержка до n -го отвода (электрода); u(t) является сигна­лом от волны, принятой в

Рис. 2.4. Схема работы устройства на ПАВ:

а, — встречно-штыревой преобразователь; б — фильтр с двумя ВШП

определяет передаточную функцию ВШП.

Таким образом, требуемая передаточная функция ВШП мо­жет быть получена с помощью линии задержки с комплексными весами отводов, а эти веса соответствуют амплитуде и фазе им­пульсного отклика требуемой передаточной функции [45]. Соглас­но (2.1) работа ВШП при передаче и приеме может быть описа­на структурной схемой на рис. 2.4, a, а работа фильтра ПАВ, состоящего из двух ВШП, — рис. 2.4, б. Эти схемы идентичны схе­мам трансверсального фильтра.

Амплитудное взвешивание электродов ВШП как отводов трансверсального фильтра легко осуществляется посредством аподизации,

т. е. эффективность отводов определяется той частью падающей волны, которая пересекает перекрывающиеся электроды. Фазовое взвешивание отводов осуществляется иначе. Из метода суммирования выходных сигналов ясно, что временные выборки должны иметь полярность ±1 (эффективные фазовые веса 0 или p), определяемую контактной шиной, к которой подводится сиг­нал. В общем случае, однако, фазовые веса, требуемые для реали­зации произвольной передаточной функции, варьируют непрерыв­но в пределах ±p. Для этого необходимо поместить между каждым электродом и контактной шиной управляемый фазосдвигающий четырехполюсник, что практически неприемлемо. Следова­тельно, отводы не могут всегда располагаться равномерно, а дол­жны быть установлены так, чтобы соответствовать временным выборкам, для которых требуемая импульсная характеристика преобразователя имеет действительное значение. Иными словами, временные выборки электродов выбираются таким образом, что­бы требуемые фазовые веса отводов принимали значения 0 или p[3, 45].

Если требуемая комплексная импульсная характеристика ВШП

представлена в виде непрерывного сигнала h_a (t), т. е.

(2.2)

то ограничение на взвешивание фазы приводит к условию

q(t_n)=0 или q(t_n)=p. (2.3)

Если принять, что физически точка выборки расположена в центре зазора (слабый пьезоэлектрик), то условие (2.2) опреде­ляет требуемые времена t_n выборок и контактную шину, к кото­рой присоединен каждый из электродов (см. рис. 2.3, в). Соотно­шение между положением электрода x_п и временем выборки t_n имеет вид x_п=V_эфt_n, где V _эф—эффективная скорость с учетом закорачивания пьезоэлектрического поля металлическим электро­дом, нагружения поверхности его массой и т. д. Важность точно­го определения этой скорости подчеркивает тот факт, что им­пульсная характеристика ВШП определяется временем выборки, а не расположением электрода [З].

Если времена выборок определены из условия (2.3), то при по­даче на вход эквидистантного ВШП единичного импульса h _вх(t) =d (t) выходной отклик у (пТ _о)является последовательно­стью импульсов, следующих с интервалом T₀ при чередующейся полярности,

(2.4)

и представляет собой импульсную характеристику устройства, ог­раниченную интервалом 0- t_{A- 1} =Т и описанную дискретными от­счетами. Коэффициент а (пТ _о) является здесь комплексной ампли­тудой n -го импульса или значением h(t) в моменты времени t_n=nT ₀, когда фаза непрерывного сигнала h_a (t) кратна p, т. е. q(t_n) =n p [3, 4, 45]. В этом случае амплитуда выборок а (пТ ₀) бу­дет максимальной по сравнению с другими методами выборки. Такое представление импульсной характеристики ВШП в виде последовательности (2.3) импульсов, соответствующих времен­ным выборкам, эквивалентно дискретизации непрерывного сигна­ла h_a (t) (см. рис. 2.3, в, г).

Определив дискретное преобразование Фурье от (2.4), нахо­дим без учета постоянных множителей передаточную функцию ВШП в виде

, (2.5)

по форме совпадающую с (2.1).

При использовании эквидистантного ВШП с нерасщепленны­ми электродами, в котором t_n=nT ₀, интервал дискретизации T ₀постоянен и соответствует задержке (расстоянию) между d-источниками.

Согласно структурной схеме на рис. 2.4, б при условии плос­кой излучаемой волны и без учета постоянной задержки то меж­ду ВШП импульсная характеристика фильтра ПАВ является свер­ткой импульсных характеристик h _пд(t) и h _пр(t) соответственно передающего и приемного преобразователей, а передаточная функция фильтра—произведением передаточных функций послед­них, т. е.

(2.6)

и

, (2.7)

где Ä означает свертку, а s=n пр- n пд.

Используя приведенные выше соотношения для аналоговых и цифровых фильтров, по найденным импульсной характеристике h (t_n) и передаточной функции Н (i w) преобразователя легко оп­ределить его основные частотные и временные параметры: АЧХ, ФЧХ, ГВЗ, переходную характеристику.

Обозначая комплексное значение выборок импульсной харак­теристики через коэффициент и используя стан­дартное z -преобразование [24], передаточную функцию (2.5) пре­образователя можно представить в виде полинома

,

где

Отсюда видно, что уравнение передаточной функции ВШП не обладает полюсами, а имеет только нули вида , лежа­щие в правой полуплоскости комплексных частот. Электрические цепи, уравнения передаточных функций которых имеют корни с указанными свойствами, относятся, по определению [22, 26], к не­минимально-фазовым. Отсюда следует, что ВШП является неми­нимально-фазовым устройством. Фильтр ПАВ, состоящий из нес­кольких ВШП и имеющий постоянную задержку то, не завися­щую от частоты, также относится к неминимально-фазовым устройствам, которые не имеют однозначной связи АЧХ и ФЧХ. По­следнее является весьма важным преимуществом фильтров ПАВ при формировании произвольных частотных характеристик.

Уравнения (2.4) и (2.5) получены на основе частной модели d-источников и описывают импульсную характеристику и переда­точную функцию ВШП в виде идеального трансверсального филь­тра, который является нерекурсивным цифровым фильтром. Одна­ко, как следует из реального распределения полей в структуре ВШП, временные выборки электродами последнего носят не ди­скретный, а аналоговый характер. Кроме того, электроды осуще­ствляют неидеальную дискретизацию.