Представление встречно-штыревого преобразователя в виде трансверсального фильтра

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

После определения структурной схемы фильтра и нахождения передаточных функций, а также методов взвешивания составляющих его преобразователей необходимо выбрать критерии близости заданных и реализуемых характеристик. Следующим весьма важным шагом является выбор физико-математической модели, описывающей работу ВШП с точностью, удовлетворяющей этим критериям.

Несмотря на то что ВШПбыл предложен сравнительно давно и хорошо зарекомендовал себя, точное математическое описание его работы не найдено из-за сложности побочных явлений, сопровождающих возбуждение и распространение ПАВ в анизотропных пьезоэлектриках: взаимодействие электродов преобразователя между собой, краевые эффекты и одновременная генерация паразитных ОАВ при возбуждении ПАВ, регенерация, дифракция, дисперсия и многократные отражения ПАВ от электродов, различие скоростей волн на свободной и металлизированной поверхности и т. п.

Кроме того, что самое важное, большинство упрощенных моделей не учитывают аналоговый характер ВШП, что, по сути, является эффектом первого порядка. Поэтому часто сначала расчет ВШП вплоть до определения топологии ведется по одной модели, а затем уточняется с привлечением других моделей, например, учитывающих те или иные эффекты второго порядка.

Большинство физико-математических моделей, используемых для расчета электрических параметров и топологии ВШП, основано на представлении последнего в виде идеального трансверсального фильтра. Наиболее наглядно такое представление можно рассмотреть на примере модели d-источников, независимо предложенной А. В. Ковалевым и И. Б. Яковкиным [42], а также Р. Танкриллом и М. Холландом [43] и позволяющей сравнительно просто установить связь между электрическими параметрами и топологией преобразователя.

В исходной модели d-источников предполагается [42—4б], что при возбуждении ВШП электрическим напряжением его электроды являются дискретными источниками акустической энергии, описываемыми d-функциями, заданными на краях каждого штыря. С каждого края штыря излучается плоская волна, распространяющаяся вдоль нормали к краю электрода. Амплитуда a_n d-источников пропорциональна электрическому заряду, определяемому степенью перекрытия штырей, а волна на выходе передающего ВШП является суперпозицией плоских волн, создаваемых каждым d-источником и следуемых с задержкой T ₀. Сигнал же на выходе приемного ВШП представляется суммой сигналов, возникающих в результате прохождения всех указанных волн мимо каждого из его электродов, которые в этом случае являются дискретными детекторами акустических волн и действуют как отводы трансверсального фильтра.

Расчеты электрического поля, создаваемого преобразователем [36, 37, 46, 47], показали, что распределение поля по поверхности пьезоэлектрика не является равномерным на электродах и в зазоре между ними, как считалось в исходной модели d-источников [42, 44], а описывается сложной функцией, состоящей из синфазной Е_с (х) и ортогональной E_s (x) составляющих. Кроме того, однородное распределение заряда нарушается на краях ВШП (рис. 2.3, а, б). Подобное распределение составляющих компонент E_s (x_n) и Е_с (х_п) делает правомерной замену реального распределения электрического поля двумя дискретными d-источниками, расположенными на краях штырей, так как напряженность поля максимальна вблизи границы электрод—зазор, но ухудшает приближение исходной модели. Для упрощения расчета преобразователя два d-источника одной полярности, принадлежащих одному электроду или зазору, часто объединяют в один, расположенный в центре электрода или зазора (рис. 2.3, б). В зависимостиот значения коэффициента электромеханической связи k_s вреальных пьезоэлектрикахпреобладает тангенциальная или нормальная составляющая толя. Поэтому можно считать, что поверхностная волна в пьезоэлектрике со слабой связью (E_c (x_n)»0) возбуждается гармоническими d-источниками, расположенными в

Рис. 2.3. Распределение электрического поля для ВШП на наиобате лития:

а —приближенное [36]; б—точное [46]; в— объединение одноименных d-источников; г —связь между временами выборки и положением электродов

зазоров ВШП, а в пьезоэлектриках с сильной связью (E_s (x_n) » 0)d-источниками, расположенными в центрах электродов (рис.2.3, г).

Знак суммарного d-источника определяется знаком поля E_c, _s (x_n)в n -м зазоре или на п- м. штыре, а фаза — координатой x_п центра зазора или штыря. Амплитуда а (х_п) суммарного d-источника пропорциональна величине перекрытия электродов е (x_п). В результате волна, распространяющаяся от d-источников вдоль положительного направления оси X, описывается выражением

, а волна, распространяющаяся в обратном направлении, является комплексно-сопряженной.

Так как поверхностная волна, излучаемая преобразователем, представляет собой суперпозицию плоских волн от каждого гармонического d-источника, а величина электрического поля, вызванного акустической волной, пропорциональна ее амплитуде, то напряжение на выходе ВШП при использовании временных координат t = x / V_f

где u ₀ — максимальное напряжение на выходе преобразователя, t_n— задержка до n -го отвода (электрода); u(t) является сигналом от волны, принятой в

а, — встречно-штыревой преобразователь; б — фильтр с двумя ВШП

Таким образом, требуемая передаточная функция ВШП может быть получена с помощью линии задержки с комплексными весами отводов, а эти веса соответствуют амплитуде и фазе импульсного отклика требуемой передаточной функции [45]. Согласно (2.1) работа ВШП при передаче и приеме может быть описана структурной схемой на рис. 2.4, a, а работа фильтра ПАВ, состоящего из двух ВШП, — рис. 2.4, б. Эти схемы идентичны схемам трансверсального фильтра.

Амплитудное взвешивание электродов ВШП как отводов трансверсального фильтра легко осуществляется посредством аподизации,

т. е. эффективность отводов определяется той частью падающей волны, которая пересекает перекрывающиеся электроды. Фазовое взвешивание отводов осуществляется иначе. Из метода суммирования выходных сигналов ясно, что временные выборки должны иметь полярность ±1 (эффективные фазовые веса 0 или p), определяемую контактной шиной, к которой подводится сигнал. В общем случае, однако, фазовые веса, требуемые для реализации произвольной передаточной функции, варьируют непрерывно в пределах ±p. Для этого необходимо поместить между каждым электродом и контактной шиной управляемый фазосдвигающий четырехполюсник, что практически неприемлемо. Следовательно, отводы не могут всегда располагаться равномерно, а должны быть установлены так, чтобы соответствовать временным выборкам, для которых требуемая импульсная характеристика преобразователя имеет действительное значение. Иными словами, временные выборки электродов выбираются таким образом, чтобы требуемые фазовые веса отводов принимали значения 0 или p[3, 45].

Если требуемая комплексная импульсная характеристика ВШП

представлена в виде непрерывного сигнала h_a (t), т. е.

то ограничение на взвешивание фазы приводит к условию

Если принять, что физически точка выборки расположена в центре зазора (слабый пьезоэлектрик), то условие (2.2) определяет требуемые времена t_n выборок и контактную шину, к которой присоединен каждый из электродов (см. рис. 2.3, в). Соотношение между положением электрода x_п и временем выборки t_n имеет вид x_п=V_эфt_n, где V _эф—эффективная скорость с учетом закорачивания пьезоэлектрического поля металлическим электродом, нагружения поверхности его массой и т. д. Важность точного определения этой скорости подчеркивает тот факт, что импульсная характеристика ВШП определяется временем выборки, а не расположением электрода [З].

Если времена выборок определены из условия (2.3), то при подаче на вход эквидистантного ВШП единичного импульса h _вх(t) =d (t) выходной отклик у (пТ _о)является последовательностью импульсов, следующих с интервалом T₀ при чередующейся полярности,

и представляет собой импульсную характеристику устройства, ограниченную интервалом 0- t_A- ₁ =Т и описанную дискретными отсчетами. Коэффициент а (пТ _о) является здесь комплексной амплитудой n -го импульса или значением h(t) в моменты времени t_n=nT ₀, когда фаза непрерывного сигнала h_a (t) кратна p, т. е. q(t_n) =n p [3, 4, 45]. В этом случае амплитуда выборок а (пТ ₀) будет максимальной по сравнению с другими методами выборки. Такое представление импульсной характеристики ВШП в виде последовательности (2.3) импульсов, соответствующих временным выборкам, эквивалентно дискретизации непрерывного сигнала h_a (t) (см. рис. 2.3, в, г).

Определив дискретное преобразование Фурье от (2.4), находим без учета постоянных множителей передаточную функцию ВШП в виде

При использовании эквидистантного ВШП с нерасщепленными электродами, в котором t_n=nT ₀, интервал дискретизации T ₀постоянен и соответствует задержке (расстоянию) между d-источниками.

Согласно структурной схеме на рис. 2.4, б при условии плоской излучаемой волны и без учета постоянной задержки то между ВШП импульсная характеристика фильтра ПАВ является сверткой импульсных характеристик h _пд(t) и h _пр(t) соответственно передающего и приемного преобразователей, а передаточная функция фильтра—произведением передаточных функций последних, т. е.

Используя приведенные выше соотношения для аналоговых и цифровых фильтров, по найденным импульсной характеристике h (t_n) и передаточной функции Н (i w) преобразователя легко определить его основные частотные и временные параметры: АЧХ, ФЧХ, ГВЗ, переходную характеристику.

Обозначая комплексное значение выборок импульсной характеристики через коэффициент

и используя стандартное z -преобразование [24], передаточную функцию (2.5) преобразователя можно представить в виде полинома

Отсюда видно, что уравнение передаточной функции ВШП не обладает полюсами, а имеет только нули вида

, лежащие в правой полуплоскости комплексных частот. Электрические цепи, уравнения передаточных функций которых имеют корни с указанными свойствами, относятся, по определению [22, 26], к неминимально-фазовым. Отсюда следует, что ВШП является неминимально-фазовым устройством. Фильтр ПАВ, состоящий из нескольких ВШП и имеющий постоянную задержку то, не зависящую от частоты, также относится к неминимально-фазовым устройствам, которые не имеют однозначной связи АЧХ и ФЧХ. Последнее является весьма важным преимуществом фильтров ПАВ при формировании произвольных частотных характеристик.

Уравнения (2.4) и (2.5) получены на основе частной модели d-источников и описывают импульсную характеристику и передаточную функцию ВШП в виде идеального трансверсального фильтра, который является нерекурсивным цифровым фильтром. Однако, как следует из реального распределения полей в структуре ВШП, временные выборки электродами последнего носят не дискретный, а аналоговый характер. Кроме того, электроды осуществляют неидеальную дискретизацию.