Составные квадратурные формулы с переменным шагом

Проиллюстрируем решение данной проблемы на примере квадратурной формулы прямоугольников.

Пусть f (x) Î C ²[ a, b ] с дополнительным ограничением: f " (x) – монотонная знакоопределенная функция на [ a, b ]. Для определенности возьмем f " (x) – монотонно убывающую положительную функцию.

Положим x ₀ = a. Определим наибольшее значение x ₁ из условия (23), т.е. чтобы погрешность для

; · f " (x) = e; ; (30)

не превышала заданной величины e. Очевидно, что для этого достаточно решить (24) относительно x ₁.

Имеем x ₁ = .

Следующие интервалы определяются аналогично.

Из рисунка видно, что длина последующих интервалов будет возрастать. Общая формула их определения такова:

x_{i +1} = ; 0 £ i £ k. (31)

Количество интервалов k неизвестно, т.к. оно определяется как точностью e, так и поведением f " (x) на интервале [ a, b ]. Однако верхняя оценка для k может быть легко определена по длине наименьшего частичного интервала:

k £ .

Суммируя (30) получим составную квадратурную формулу прямоугольников с переменным шагом:

;

где x_i определяется рекуррентно формулами (31). Для погрешности R имеет место оценка | R | £ k e.

В общем случае для произвольной функции f (x), если f " (x) – монотонно возрастающая положительная функция, то частичные интервалы определяются справа налево, т.е. от b к a. Для отрицательной производной f " (x) и монотонно возрастающей – слева направо от a к b, для убывающей – справа налево от b к a.

В качестве иллюстрации рассмотрим интегрирование f (x) = e ^{– x /s}, s = 10^–2 с точностью e = 10^–4 на каждом частичном интервале, принадлежащем отрезку [0; 1]. По (31) определим границы интервалов:

x ₀ = 0, 0000; x ₁ = 0, 0062; x ₂ = 0, 0138; x ₃ = 0, 0237; x ₄ = 0, 0374;

x ₅ = 0, 0590; x ₆ = 0, 1030; x ₇ = 0, 2990; x ₈ = 1, 0000.

Общая погрешность имеет оценку R £ 8× 10^–4. Такую погрешность посредством формулы прямоугольников с h = const можно получить, если выбирать шаг h на всем интервале из условия = R, на 721-м частичном интервале:

K = .

В общем случае, если f " (x) на всем интервале [ a, b ] не удовлетворяет принятому дополнительному ограничению, то

– сначала следует интервал [ a, b ] разбить на частичные интервалы, на которых f " (x) монотонна и знакоопределена;

– затем на каждом из них построить составную квадратурную формулу с переменным шагом по приведенным выше формулам.

Аналогичные рассуждения имеют место и для формулы Симпсона с соблюдением монотонности f ^IV (x).

Однако следует заметить, что переход к переменному шагу h не всегда оправдан из-за необходимости вычислять f " (x) и определять ее монотонность и знакоопределенность. Это бывает оправданным только при серийных расчетах.