Лабораторная работа №1 Тема: Элементарная теория погрешностей.

Цель: Научиться находить предельные абсолютные и предельные относительные погрешности.

Задание 1.

Определить какое равенство точнее =0, 818 или =4, 24

Решение:

1. Находим значение данных выражений с большим числом десятичных знаков:

а = =0, 81818… а =4, 2426…

1. Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

∆ а =|0, 81818-0, 818|≤ 0.00019

∆ а =|4.2426-4.24|≤ 0.0027

1. Предельные относительные погрешности составляют

δ = = =0, 00024=0, 024%

δ = = =0, 00064=0, 064%

4. Так как δ а< δ , то равенство =0, 818 является более точным

Это был ручной способ поиска равенства, являющегося более точным. Для автоматического поиска более точного равенства можно использовать среду программирования MS Excel. Для этого необходимо подготовить рабочий лист так, как показано на рисунке 1.1

Рисунок 1.1 Элементарная теория погрешностей

Здесь в ячейки А4 и В4 заносятся условия задачи: в А4 – 0, 818, В4 – 4, 24

В ячейки В6 и В7 записывают значения данных выражений с большим числом десятичных знаков (число знаков должно быть на два знака больше): В6 – 0, 81818, В7 – 4, 2426

В ячейки D6 и D7 записывают формулы для вычисления предельных абсолютных погрешностей для первого и второго равенств соответственно: D6= В6-А4+0, 00001 (соответственно 0, 81818-0, 818+0, 00001 т.к. мы брали 5 знаков после запятой, а по условию необходимо абсолютные погрешности округлять с избытком)

D7=В7-В4+0, 0001(соответственно 4, 2426-4, 24+0, 0001 т.к. мы брали 4 знака после запятой, а по условию необходимо абсолютные погрешности округлять с избытком)

В ячейки D9 и D10 записывают формулы для вычисления предельных относительных погрешностей для первого и второго равенств соответственно:

D9=D6/А4(соответственно 0, 00019/0, 818)

D10=D7/В4 (соответственно 0, 0027/4, 24)

В ячейке D12 отображается результат выполнения задачи. Для вывода результата используется функция ЕСЛИ (рис.1.2). В строке Логическое выражение записываем условие для исполнения. В оставшихся двух строках записываем результат вывода, который будет выведен, если Логическое выражение примет истину (первое равенство является более точным) или ложь (второе равенство является более точным). В строке формул для этой ячейки будет записана следующая формула:

D12=ЕСЛИ (D9< D10: «первое равенство является более точным»; «второе равенство является более точным»)

Рисунок 1.2 Функция ЕСЛИ

Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

1. =0, 463 и =6, 63;

2. =0, 235 и =3, 24;

3. =0, 857 и =2, 19.

Задание 2.

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

А) в узком смысле 72, 353(±0, 026);

В) в широком смысле 2, 3544, если δ =0, 2%.

Решение:

А) Пусть 72, 353(±0, 026)= а. Согласно условию, предельная абсолютная погрешность только ∆ а=0, 026. в узком смысле это необходимо сравнить с 0, 05(т.к. после запятой только один нуль). Сравнивая, получаем: 0, 026< 0.05. это означает, что в числе 72, 353 верными в узком смысле являются цифры 7, 2, 3. По правилам округления найдем приближенное значение числа 72, 353, сохранив десятые доли и обозначим за а =72, 4

Далее находим ∆ (округленное): ∆ =| а -а|=|72.4-72.353|=0.047

Затем определяем предельную абсолютную погрешность числа а

∆ а =∆ +∆ =0, 026+0, 047=0, 073

Полученная погрешность больше 0, 05; значит, нужно уменьшить число цифр в приближенном в числе до двух:

а =72; ∆ =|а -а|=|72-72.353|=0.353;

∆ а = ∆ а+∆ =0, 026+0, 353=0, 379.

Полученное число (0, 379) сравниваем с 0, 5(т.к. после запятой нет нулей). Получаем, что ∆ а < 0, 05 откуда следует, что обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.

Б) Пусть а= 2, 3544; δ =0, 2%.

Находим предельную абсолютную погрешность числа а: ∆ а= а* δ = 2, 3544*0, 002=0, 00471. В широком смысле это число также необходимо сравнить с 0, 005(т.к. после запятой два нуля). Сравнивая, получаем: 0, 00471< 0, 005. Это означает, что в данном числе являются числа 2, 3, 5. Поэтому округляем его, сохраняя эти цифры: а =2, 35.

Находим ∆ : ∆ =| а -a|=|2.35+2.3544|=0.0044.

Теперь определяем предельную абсолютную погрешность числа а

∆ а =∆ +∆ =0, 00471+0, 0044=0, 00911

Полученное число (0, 00911) сравниваем с числом 0, 005 (т.к. после запятой два нуля). Получаем, что ∆ а > 0, 005. Значит и в округленном числе 2, 35 все три цифры верны в широком смысле.

Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

1. а)23, 543(±0, 016)

б)2, 8546; δ =0, 3%.

2. а)5, 436(±0, 0028)

б)10, 8441; δ =0, 04%.

3. а)2, 45431(±0, 0003)

б)24, 5643; δ =0, 1%.