Тема: Отделение корней. Метод касательных

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0, 001

х -0, 2х +0, 5х-1, 5=0;

Решение: Полагаем, что F(x)= х -0, 2х +0, 5х-1, 5. Определим F’(x), а затем найдем корни уравнения

F’(x)= 3х -0, 4х +0, 4х+0, 5=0

D=b -4ac=0.16-4*3*0.5=0.16-6= -5.84

D< 0, поэтому непосредственно действительные корни найти нельзя. Следовательно, необходимо найти интервал, в котором находятся корни данного уравнения F(x)=0. Возьмем любую точку, например, х=0 и будем перебирать все точки до тех пор, пока функция не изменит знак. И точки, в которых функция меняет знак, примем за границы интервала.

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1; 0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f”=6x-0, 4; в промежутке [-1; 0]выполняется неравенство f”(х). Подставляем интервал [-1; 0] в функции f”(х) и f(х) и находим при каком х знаки f”(х) и f(х) совпадают:

F”(-1)< 0 f”(0)< 0

f(-1)< 0 f(0)< 0

т.е.при х=-1 знаки f”(х) и f(х) совпадают

Следовательно, а=0 – неподвижная точка

х =-1 – подвижная точка

Т.е. в данном методе всё наоборот, чем в методе хорд

Для вычисления применяем формулу

х =х -

Все вычисления располагаем в таблице: f(x) = 3x -0, 4x+0, 5

N	х	х
	-1	-0, 949
	-0, 949	-0, 946
	-0, 946	-0, 946

x = -1

x =x - = -1- = -1- = -1+0, 051= -0, 949;

x =x - = -0, 949- = -0, 949- = -0, 949 + 0, 003= -0, 946;

x =x - = -0, 946- = -0, 946- = -0, 946-0, 0002= -0, 9458;

|x -x |=|-0, 9458-(-0, 0946)|=0, 0002≤ 0, 001.

Вычисляем до тех пор, пока |x -x |≤ 0, 001.

F(-0, 949)=(-0, 949) -0, 2*(-0, 949) +0, 5*(-0, 949)+1, 5= -0, 855-0, 180-0, 475+1, 5= -0, 01;

f’(-0, 949)=3* (-0, 949) +0, 4*(-0, 949)+0, 5=2, 702+0, 380+0, 5=3, 582;

F(-0, 946)=(-0, 946) -0, 2*(-0, 946) +0, 5*(-0, 946)+1, 5= -0, 847-0, 179-0, 473+1, 5= 0, 001;

f’(-0, 946)=3* (-0, 946) +0, 4*(-0, 946)+0, 5=2, 685+0, 378+0, 5=3, 563.

Ответ: x≈ -0, 946.

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0, 001

1. x -3x +6x+3=0;

2. x -0, 2x +0, 3x-1, 2=0.

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel.