Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!
Interpolation.
|
|
NUMERICAL METHODS
(Summary of Lectures)
V. N. Pavlysh
dep. of numerical mathematics and programming
(For the students of English Engineering Faculty)
Donetsk 2006
Министерство образования и науки Украины
Донецкий национальный технический университет
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
(конспект лекций)
В.Н. Павлыш
каф. вычислительной математики и программирования
(на английском языке)
(Для студентов английского технического факультета)
Донецк 2006
Министерство образования и науки Украины
Донецкий национальный технический университет
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
(конспект лекций)
(Для студентов английского технического факультета)
Рассмотрено
на заседании кафедры вычислитель-ной математики и программирования
прот. № 7 от 14.02.2006
(на английском языке)
Утверждено
на заседании учебно-издательского
совета института международного сотрудничества ДонНТУ
прот. № от 2006
Донецк 2006
Численные методы (конспект лекций).
(Для студентов английского технического факультета) / Составитель
В.Н. Павлыш (на английском языке) – Донецк: ДонНТУ, 2006.- 28с.
Составитель: В.Н. Павлыш, доцент
Рецензент: С.А. Ковалев, доцент
Донецк 2006
Interpolation.
Problem:
Let we have a function y = f (x), given by the table:
| x0 | x1 | x2 | x3 | … | xn-1 | xn | n+1 points |
| y0 | y1 | y2 | y3 | … | yn-1 | yn |
The given value is x0 < x < xn, x ¹ xi, i=0, 1, …, n; how to obtain y = f(x), when formula f(x) is unknown?
The method of solution of this problem is: to create some known function F(x), which represents our given function f(x) such as:
1) F(xi) = f(xi), i = 0, 1, …, n;
2) | F(x) – f(x) | ® min, x0 £ x £ xn.
The most convenient form of F(x) is polynomial.
Lagrange suggested one of possible ways.
The idea of Lagrange:
1. To create the system of fundamental polynomials, which response to condition:
2. To construct interpolation polynomial in the form:
The fundamental polynomial may be constructed as:
The first condition is responded.
The second condition is:
Qi(n)(xk) = 1, i = k, i.e. Qi(n)(xi) = 1
g(xi–x0)(xi –x1)…(xi –xi–1)(xi –xi+1)…(xi –xn) = 1
g = 
Then:
Qi(n)(x) = 
Lagrange’s interpolation polynomial:
L(x) = 
The compact form of the Lagrange’s polynomial.
Let us consider P(x) = (x–x0)(x–x1)(x–x2)…(x–xn).
Then (x–x0)(x–x1)…(x–xi–1)(x–xi+1)…(x–xn) = 
.
Let us consider P¢ (x):
P¢ (x) = (x–x1)(x–x2)…(x–xn)+(x–x0)(x–x2)…(x–xn)+…+(x–x0)(x–x1)…(x–xi–1)(x–
–xi+1)…(x–xn)+…+ (x–x0)(x–x1)…(x–xn–1).
Then (xi–x0)(xi –x1)…(xi –xi–1)(xi –xi+1)…(xi –xn) = P¢ (xi).
So, the Lagrange’s polynomial can be written:
L(x) = P(x) 
.
Interpolation for proportional tables.
x1–x0 = x2–x1 =…= xn–xn–1 = h = const, where h is a step of a table.
Substitution: x = x0+ht;
t=0 Þ x = x0
xi = x0+ih
t = 
.
P(x) = (x–x0)(x–x1)(x–x2)…(x–xn);
x–x0 = ht; x–xi = x0+ht–(x0+ih) = h(t–i);
xk–xi = x0+kh–(x0+ih) = h(k–i);
P(x0+ht) = ht× h(t–1)× …× h(t–(n–1))× h(t–n) = hn+1× t(t–1)(t–2)× …× (t–n+1)(t–n);
P*(t) = t(t–1)(t–2)…(t–n+1)(t–n);
P(x) = P(x0+ht) = hn+1P*(t);
P¢ (xk) = (xk–x0)(xk–x1)…(xk–xk–1)(xk–xk+1)…(xk–xn);
P¢ (xk) = h(k–0)× h(k–1)× …× h× 1× h(–1)h(–2)× …× h(–(n–k)) = hn× 1× 2× …× k(–1)(–2)× …´
´ (–(n–k)) = hn× (–1)n–kk! (n–k)!;
L(x) = L(x0+ht) = hn+1P*(t) 
;
Lagrange’s polynomial for proportional tables:
L(x0+ht) = P*(t) 
|
|