Метод Ньютона (касательных). Суть метода состоит в том, что на к-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y = f(x) при x = ck и ищется точка пересечения касательной с осью

Суть метода состоит в том, что на к -й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y = f(x) при x = c_k и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [ a, b ], содержащий корень уравнения f(x) = 0, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня x = c₀ (рисунок 3).

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке М₀ с координатами с₀ и f(c₀), имеет вид:

y - f(c₀) = f'(c₀)(x - c₀).

Отсюда найдем следующее приближение корня с₁ как абсциссу точки пересечения касательной с осью x (y = 0):

c₁ = c₀ - f(c₀)/f'(c₀).

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках M₁, M₂ и т.д. Формула для n+1 -го приближения имеет вид:

c_n+1 = c_n - f(c_n)/f'(c_n). (1)

При этом необходимо, чтобы f'(c_n) не равнялось нулю. Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие ¦f(c_n)¦ < e, или условие близости двух последовательных приближений ¦c_n+1 - c_n¦ < e.

Из формулы (1) следует, что на каждой итерации объем вычислений в методе Ньютона больший, чем в рассмотренных ранее методах, поскольку приходится находить значение не только функции f(x), но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.

Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального приближения, которое должно находиться в окрестности D (области нахождения корня). Поэтому иногда целесообразно использовать смешанный алгоритм. Он состоит в том, что сначала применяется всегда сходящийся метод (например, метод деления отрезка пополам), а после некоторого числа итераций - быстро сходящийся метод Ньютона.

2 Решение систем линейных алгебраических уравнений