Численное интегрирование. Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении всех

Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении всех промежутков ∆ x_i к нулю

При приближенном вычислении определенного интеграла шаг интегрирования h=∆ x выбирается конечным: , где I_i - элемент интегральной суммы. Заменяя подынтегральную функцию на каждом шаге отрезками линий нулевого, первого и второго порядков, получаем приближенные формулы для вычисления интеграла методами прямоугольников, трапеций и Симпсона соответственно.

Правило прямоугольников (n=0). Заменяем график функции F(x) горизонтальной линией (линий нулевого порядка) и вычисляем значение элемента интегральной суммы как площадь прямоугольника

, где h - шаг интегрирования, у₀ - значение функции в точке х=х₀

у(х₀)=у₀

Правило трапеций (n=1). Заменяем график функции F(x) прямой, проходящей через две точки (х₀, у₀) и (х₀+h, у₁), и вычисляем значение элемента интегральной суммы как площадь трапеции

Правило Симпсона (n=2). Заменяем график функции F(x) квадратичной параболой, проходящей через три точки с координатами (х₀, у₀), (х₀+h, у₁), (х₀+2h, у₂). Расчетную формулу для вычисления элемента интегральной суммы получим, используя интерполяционный многочлен Лагранжа, в виде

y(x)=y₀A₀(x)+y₁A₁(x)+y₂A₂(x), где

При x₀=0; x₁=h; x₂=2h, получим

При интегрировании на отрезке [a, b] расчетные формулы для методов прямоугольника, трапеций и Симпсона имеют вид

где h - шаг по x, f_a, f_i, f_b - значения функции при x равном a, x_i, b соответственно. Для метода прямоугольников приведены две расчетные формулы, так как площадь прямоугольника на каждом шаге интегрирования может определяться по левой или правой стороне. Суть метода прямоугольников для отрезка [a, b] проиллюстрирована на рисунке, при этом площадь под кривой f(x) (вспомните геометрический смысл определенного интеграла) заменена суммой площадей заштрихованных прямоугольников.

Рис. Численное интегрированние методом прямоугольников

Пример. Вычислить определенный интеграл четырьмя численными методами, сравнить с точным значением.

Этапы решения задачи приведены в таблице

Таблица

N	Этап программирования	Выполнение
1.	Постановка задачи	Вычислить определенный интеграл четырьмя численными методами и сравнить с точным значением
2.	Математическое описание	Аналитическое решение: Численное решение: выполнить самостоятельно
3.	Разработка структограммы	Выполнить самостоятельно
4.	Написание программы	Выполнить самостоятельно
5.	Отладка и получение результатов	Выполнить самостоятельно