Численное решение системы дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется система вида

где x - независимый аргумент,

y_i - зависимая функция, ,

y_i|_x=x0 =y_i0 - начальные условия.

Функции y_i(x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системой дифференциальных уравнений.

Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.

1. Метод Эйлера.

y_ij+1=y_ij+hf_i(x_i, y_1j y_2j..y_nj)

j - номер шага.

x_j+1=x_j+h

1. Модифицированный метод Эйлера.

k_i1=h*f_i(x_j, y_1j..y_nj)

k_i1=h*f_i(x_j+h, y_1j+k_i1..y_nj+k_i2)

y_ij+1=y_ij+(k_i1+k_i2)/2

x_j+1=x_j+h

1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

k_i1=hf_i(x_j, y_1j..y_nj)

k_i2=hf_i(x_j+h/2, y_2j+k_i1/2,.., y_nj+k_n1/2)

k_i3=hf_i(x_j+h/2, y_2j+k_i2/2,.., y_nj+k_n2/2)

k_i4=hf_i(x_j+h, y_1j+k_i2,.., y_nj+k_n3)

y_ij+1=y_ij+(k_i1+2k_i2+2k_i3+k_i4)/6

x_j+1=x_j+h

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

или

Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Численно ищется частное решение уравнения (2), которое удовлетворяет заданным начальным условиям, то есть решается задача Коши.

Для численного решения дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и приводится к машинному виду (3). Для этого вводится новая неизвестная функция , слева в каждом уравнении системы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно

.

(3)

Функция f₂(x, y₁, y) в систему (3) введена формально для того, чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использованы для решения произвольной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения системы (3). Расчетные зависимости для i+1 шага интегрирования имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следующем виде:

1. Метод Эйлера.

у_{1, i+1}=у_{1, i}+hf₁(x_i, y_{1, i}, y_i),

у_i+1=у_i+hf₂(x_i, y_{1, i}, y_i),

x_i+1=x_i+h.

1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

у_{1, i+1}=у_{1, i}+(m₁+2m₂+2m₃+m₄)/6,

у_i+1=у_i+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6,

m₁=hf₁(x_i, y_{1, i}, y_i),

k₁=hf₂(x_i, y_{1, i}, y_i),

m₂=hf₁(x_i+h/2, y_{1, i}+m₁/2, y_i+k₁/2),

k₂=hf₂(x_i+h/2, y_{1, i}+m₁/2, y_i+k₁/2),

m₃=hf₁(x_i+h/2, y_{1, i}+m₂/2, y_i+k₂/2),

k₃=hf₂(x_i+h/2, y_{1, i}+m₂/2, y_i+k₂/2),

m₄=hf₁(x_i+h, y_{1, i}+m₃, y_i+k₃),

k₄=hf₂(x_i+h, y_{1, i}+m₃, y_i+k₃),

x_i+1=x_i+h,

где h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x₀, y₁=y₁₀, y=y₀.