ІІ. Поліпшена версія моделі

Припущення, використані нами у попередній версії, були занадто простими, тому й результати роботи з моделлю практично виявилися нецікавими. Перейдемо до вдосконалення моделі.

Згідно з Припущенням 4 наша модель передбачає однорідний за ознакою балакучості склад населення. У житті такого фактично не буває. Тому, насамперед, частково знімемо це обмеження і сформулюємо

Припущення 4 *. Будемо вважати, що населення складається з трьох груп: звичайних людей з параметром передавання k_зв, балакунів з параметром передавання k_б (k_б > k_зв) та мовчунів з параметром передавання k_м = 0. При цьому, як і раніше, значення відповідних параметрів вважатимемо незмінними в часі.

Нехай доля мовчунів становить M, а балакунів – B від усієї кількості населення. Тоді доля звичайних знавців становитиме

Z = 1 – M – B.

Не викликатиме серйозних заперечень твердження, що за достатньо великої чисельності населення у такий самий спосіб розподіляються відповідні долі й серед знавців новини. Так, наприклад, якщо доля мовчунів серед усього населення становить М, то й серед знавців ця доля буде також М.

Тепер приріст Δ N кількості знавців після j -го передавання буде забезпечуватися балакунами та звичайними людьми і становитиме

Δ N = N_{j– 1} ·B·k_б + N_{j– 1} ·k_зв· (1 – M – B) (4)

за рахунок за рахунок

балакунів звичайних

або

Δ N = N_{j– 1}(B·k_б + k_зв·Z); (5)

загальна ж кількість знавців шукатиметься, як і раніше згідно (2):

N_j = N_{j– 1} + Δ N,

або з урахуванням (5)

N_j = N_{j– 1}(1 + B·k_б+ k_зв·Z), (5*)

Рівняння (5) і (2) або (5) і (5*) являють собою поліпшену математичну модель процесу.

Модифікована таблиця має такий вигляд:

У відповідності до нових рівнянь потребує певних змін і

Алгоритм роботи з моделлю

– п. 2: до вхідних даних замість колишнього k добавити нові параметри M, B, K_б і k_зв: (комірки Е2–Е5 відповідно), а параметр N ₀ перенести до комірки Е6.

– п. 4.2: обчислювати приріст Δ N кількості знавців згідно (5):

Значення параметрів М і В повинні задовольняти умові М+В £ 1, тому з метою хоч би часткового запобігання некоректного введення значень цих параметрів слід після заповнення комірок Е2 та Е3 в разі необхідності виводити на екран відповідне повідомлення. Для цього в комірці E8 слід створити формулу

=ЕСЛИ(E2+E3> 1; " Має бути М+В< =1! "; " ").

Решту пунктів алгоритму залишити без змін.

Обчислювальний експеримент

1. Вважатимемо, для прикладу, що за ознакою балакучості мешканці деякого населеного пункту розподіляються у такий спосіб: доля мовчунів М становить 0, 75 (75%), доля балакунів – 0, 1 (10%), решта Z = 1 – М – В – доля звичайних людей. Параметри передавання k_б = 3, k_зв = 2. Серед мешканців з’являється N ₀ = 1 знавець чутки. Скільки людей знатимуть новину після n =22 сеансів передавання?

2. Вводимо дані й одержуємо відповідну таблицю (рис. 3.3).

Рис. 3.3.

2.1. Чи утворює послідовність значень змінної N_j геометричну прогресію? Чому?

Якщо ваша відповідь негативна, то ви помиляєтесь. В оману вас увела саме несподіваність питання стосовно послідовності такого незвичного вигляду. По-перше, не слід забувати, що дійсні числа у комірках таблиці представлені у форматі цілих.

По-друге, погляньте на вираз (5*): з нього видно, що кожний наступний член N_j послідовності дорівнює попередньому N_{j– 1}, помноженому на постійне число q = 1 + k_б·B + k_зв·Z. Отже, послідовність
N_j -их – геометрична прогресія, а число q – її знаменник.

2.2. Напишіть формулу довільного члена утвореної послідовності у вигляді a_n = a ₁ ·q^{n– 1}. Для цього за нашими даними знайдіть конкретні значення N ₁ (замість а ₁), q і п.

2.3. Якого вигляду тепер набуде вираз для N_j?

2.4. Створіть у таблиці після стовпця значень N новий стовпець, у якому будуть обчислюватися значення N_j згідно виразу із п. 2.2:

N_j = N ₁ · (1 + k_б·B + k_зв·Z) ^{j– 1}. (5)

Для цього в комірки D2 і D3 уведіть формули

2.5. Порівняйте значення N_j у стовпцях C і D, зробіть висновки.

2.6. Переконатися, що послідовність N_j є дійсно геометричною прогресією, можна й інакше – виходячи з означення такої послідовності, а саме: відношення N_j / N_{j – 1} має бути сталим числом.

То ж видаліть зі стовпця D попередні значення і в комірці D3 створіть відповідну формулу =С3/С2, яку скопіюйте у решту комірок стовпця D. Як слід прокоментувати той факт, що значення всіх комірок стовпця D виявляються однаковими?

Тепер стовпець D видаліть із таблиці.

3. З’ясуйте, як впливає на виведені значення N_j зміна параметрів М та В. З цією метою порівнюйте результати при початкових даних з результатами при

3.1. М = 0, 75 і В = 0, 05;

3.2. М = 0, 8 і В = 0, 1.

Прокоментуйте причини спостережуваних змін.

4. Поверніть параметрам М і В їхні початкові значення. Залишаючи їх незмінними, спробуйте одночасно підібрати для параметрів передавання k_зв і k_б такі нові значення, щоб у стовпці C залишилися попередні результати.

Коли вам набридне це заняття, введіть k_зв = 1 і k_б = 4, 5 (k_б = 4, 5 можна інтерпретувати так: кожен балакун за два сеанси передавання знаходить 9 слухачів).

4.1. Звідки взялися ці числа 1 і 4, 5? Чи існують інші такі пари? Скільки їх може бути? Інакше кажучи, чи існує зв’язок між параметрами передавання k_зв і k_б за умовою п. 4?

На всі ці питання можна дати надійні відповіді, якщо знову звернутися до виразу (5*), який був переписаний у вигляді

N_j = N_{j– 1} ·q,

де q = 1 +B·k_б + k_зв·Z.

Зрозуміло, що ті самі значення N_j будуть з’являтися кожного разу, коли будуть забезпечені однакові значення для q: q ₁ = q ₂, тобто

B·k_{б 1} + k_{зв 1} ·Z = B·k_{б 2} + k_{зв 2} ·Z.

Це рівняння одночасно містить обидві невідомі k_{б 2} і k_{зв 2}. Розв’язуючи його, наприклад, відносно k_{б 2}, маємо

.

Беручи далі згідно умови М = 0, 75; В = 0, 1; к_{зв 1} = 2; к_{б 1} = 3, отримуємо

,

або остаточно

k_{б 2} = 6 – 1, 5· k_{зв 2}.

Тепер можна надавати певних значень к_{зв 2} і отримувати відповідні значення для к_{б 2}. Необхідно лише контролювати себе очевидними обмеженнями к_{б 2} > 0, к_{зв 2} > 0, к_{б 2} > к_{зв 2}.

Вправа

1. Дайте відповіді на питання п. 4.1.

2. Як і в п. 3 обчислювального експерименту попередньої версії моделі, створіть обмеження кількості знавців N_j так, щоб вона знов не перевищувала загальної чисельності S мешканців населеного пункту і порівняйте цю таблицю з таблицею попередньої версії.

3. За яких умов розглядувана версія моделі може бути зведена до попередньої?

Висновки

1. Поліпшена версія моделі є логічним продовженням попередньої і містить її як окремий випадок. Вона дещо цікавіша і більш реалістична, але все ще залишається дуже спрощеною і являє собою лише незначний крок уперед. Та й чого можна чекати від моделі, побудованої на обмеженій кількості зовсім простих припущень?

2. Пошук відповідей на питання, поставлені у п. 4 при виконанні обчислювального експерименту, мав на меті продемонструвати одну з важливих особливостей роботи дослідника у процесі моделювання. Суть її полягає в тому, що, виконуючи обчислювальний експеримент і аналізуючи його результати, можна, звичайно, пробувати шукати відповіді шляхом “сліпого” підбору, але значно ефективнішими завжди будуть спроби розв’язання проблеми шляхом аналізу математичних співвідношень, покладених в основу моделі. Проте, як ми побачимо далі, в моделюванні часто трапляються випадки, коли дослідник позбавлений такої можливості, і тоді залишається єдиний шлях – саме підбір.

3. Знов, як і у попередній версії моделі, поява обмеження чисельності знавців не робить модель більш вірогідною. Причина та сама – обмеження кількості знавців є штучним, воно зовсім не випливає із самої моделі.

4. В обох розглянутих версіях моделі найбільш слабким місцем є вимога, сформульована у Припущенні 3. Дійсно, хіба обов’язково чутка має потрапляти лише до тих осіб, яким вона невідома? Якщо цю вимогу зняти, то це означатиме, що слухачами можуть стати й ті особи, котрим чутка вже відома (повторні знавці). Тим більше, що у житті часто саме так і відбувається.