І. Найпростіша версія моделі

З метою спрощення ситуації приймемо ряд припущень.

Припущення 1. Сеанси передавання починаються одночасно для всіх розповідачів і мають однакову тривалість.

Припущення 2. Кожен знавець чутки розповсюджує її протягом усього обраного нами часу моделювання, не вносячи при цьому спотворень.

Припущення 3. При кожному черговому передаванні інформація має потрапляти лише до осіб, які нею раніше не володіли. Для виконання останньої умови слід перш, ніж передати чутку, задати питання типу: “А ви чули, що...? ”.

Реально поширення чуток відбувається не цілодобово. Адже у переважної більшості людей є чимало й інших важливих справ, і найчастіше люди спілкуються не з метою слухання й розповсюдження чуток.

Припустимо, що тривалість одного сеансу передавання становить 2 години і за добу відбувається 6 сеансів. Якщо нас цікавитиме кількість знавців новини, наприклад, через 4 доби, то такому термінові буде відповідати час моделювання 2·6·4 = 48 годин. Якщо ж сеанс триватиме 1 годину і відбуватиметься 10 разів на добу, то за ті самі 4 доби час моделювання становитиме 1·10·4 = 40 годин. Тому зручнішим видається підрахунок кількості знавців новини не через певний час, а після певної кількості сеансів передавання. В такому разі доцільно скорегувати мету моделювання, а саме:

Скільком людям стане відомою чутка після деякої кількості сеансів передавання, якщо у початковий момент вона відома лише декільком з них?

Формалізуємо задачу. Введемо такі кількісні характеристики:

j – порядковий номер сеансу передавання (j = 0, 1, 2,...);

N ₀ – початкова (j = 0) кількість знавців новини (чутки);

N_j – кількість знавців після j -го сеансу.

Нехай кожен знавець передає чутку k новим особам. В такому разі для виконання Припущення 3 необхідно, щоб протягом сеансу передавання кожен знавець знаходив k осіб, яким чутка ще невідома.

Тут N, j, k – додатні цілі числа.

Як зазначалося вище, параметр k у різних людей може мати різні значення в залежності від рівня їхньої індивідуальної здатності до спілкування і, крім того, за різних обставин він може випадково змінюватися в часі. У зв’язку з цим приймемо ще одне

Припущення 4. Будемо вважати параметр k однаковим для всіх знавців і незмінним у часі.

Тоді, наприклад, k = 2 означатиме, що протягом усього часу моделювання кожен знавець за один сеанс передавання розповідає чутку двом новим особам, а кожен з тих двох у наступному сеансі передаватиме чутку двом іншим і т.д.

Якщо після (j– 1)-го сеансу інформацією володіють N_{j– 1} осіб, то після наступного сеансу з номером j кількість знавців збільшиться на

Δ N = N_{j– 1} k, (1)

а їхня загальна кількість становитиме

N_j = N_{j– 1} + Δ N, (2)

або, з урахуванням (1),

N_j = N_{j– 1}(1 + k). (3)

Системи рівнянь (1) і (2) або (1) і (3) являють собою найпростішу математичну модель задачі про поширення чуток.

Зауваження. У відповідності з нашою домовленістю в даній моделі час t явно не фігурує, тобто рівняння (1) і (2) не містять змінної t, але при потребі час t можна знайти за виразом t = j·Δ t, де Δ t – тривалість одного сеансу передавання.

Таким чином, задачу формалізовано і створено її математичну модель.

Алгоритм роботи з моделлю

1. Створити за зразком електронну таблицю і заповнити її перший рядок іменами стовпців, а у стовпець D (“ Дано: ”) занести позначення параметрів моделі N ₀і k і знак “=”.

2. Увести значення вхідних даних до комірок E2 та E3. Наприклад, 1 і 2 відповідно (N ₀= 1 і k = 2).

3. Заповнити другий рядок (початкові умови):

3.1. j = 0 – початковий номер сеансу передавання;

3.2. Δ N = 0 – перед першим сеансом приріст Δ N кількості знавців новини дорівнює нулеві;

3.3. N = N ₀ – посиланням на комірку E2 з “ Дано: ”.

Відповідні комірки таблиці матимуть такий уміст:

4. Заповнити третій рядок, тобто вписати формули, що відповідають рівнянням (1) і (2) для j = j + 1 = 1 – номеру наступного сеансу передавання:

5. Команди третього рядка повторювати n разів, де n – кількість передавань, що моделюються (у нашому прикладі n = 20). З цією метою копіювати всі формули третього рядка в n наступних рядків.

6. За результатами опрацювання таблиці побудувати графіки залежності D N = D N (j) і N = N (j).

Обчислювальний експеримент

Нехай, наприклад, у населеному пункті, всі мешканці якого мають параметр передавання k = 2, з’являється N ₀ = 1 знавець чутки з таким самим параметром передавання. Скільки людей знатимуть новину після n = 20 сеансів передавання?

Підставляючи вхідні дані до комірок E2 та E3, одержуємо таблицю, фрагмент якої поданий на рис. 3.1. Тут видно, що в міру збільшення числа передавань відбувається стрімке зростання кількості знавців чутки. З таблиці також видно, що послідовні значення приросту D N та кількості знавців N утворюють геометричні прогресії зі знаменником 3.

	A	B	C	D	E
	j	D N	N	Дано:
				N 0 =
				k=
...	...	...	...

Рис. 3.1.

Зауваження. Змінні D N і N за своїм змістом є цілими числами. Слід прийняти до уваги, що електронні таблиці дозволяють подати дійсні числа у форматі цілих відповідно до правил округлення. Але при цьому в пам’яті комп’ютера вони будуть залишатись у форматі дійсних чисел з максимально можливою для даного табличного процесора кількістю розрядів. У всіх арифметичних операціях вони будуть фігурувати саме в такому форматі.

Вправа

1. З метою перевірки Зауваження в будь-яку вільну комірку введіть формулу (вираз): =22/7.

1.1. Подайте результат у форматі “ Цілі ”.

1.2. Далі скопіюйте без формул вміст цієї комірки в яку-небудь іншу вільну комірку і збільшіть розміри цієї комірки так, щоб побачити всі десяткові розряди.

2. Скільки рядків таблиці на рис. 3.1 було використано для побудови відповідного графіка? Які це рядки?

3. Аналізуючи вирази (1), (2) і (3), дайте відповіді на питання:

3.1. Чому при значенні параметра передавання k = 2 обидві прогресії значень D N і N мають знаменник 3?

3.2. Наступну відповідь перевірте експериментально, але тільки після того, як спочатку відповісте на наступне питання.

При N ₀ = 1 після шостого передавання кількість знавців становить 729. Якщо початкову кількість знавців збільшити в 10 разів (тобто взяти N ₀ = 10), то чи можна стверджувати, що в 10 разів скоротиться число передавань j, потрібних для ознайомлення з чуткою такої самої кількості людей (729), що й при N ₀ = 1?

У даній версії моделі процес поширення чутки відбувається настільки швидко, що вже після 13-го передавання кількість знавців перевищує 2 мільйони, а ще через два-три передавання стає більшою за населення будь-якого міста у світі: геометрична прогресія демонструє свій крутий характер.

Якщо прийняти число передавань за добу рівним 10, то зазначений ефект буде досягнутий швидше, ніж за дві доби. Зрозуміло, що такий хід подій не відповідає дійсності, тобто побудована модель не є адекватною щодо реальних ситуацій і, отже, виникає потреба в покращенні моделі. Але перш, ніж перейти до створення більш досконалої моделі, виконаємо деякі вправи із щойно розглянутою.

Поцікавимось тим, скільки сеансів передавання має відбутися, щоб чутка обійшла усіх мешканців населеного пункту. Одразу ж виникає природне бажання ввести до розгляду загальну кількість мешканців. Тоді, порівнюючи це число зі значеннями змінної N_j, ми зможемо дати відповідь на поставлене питання. То ж і приймемо чергове

Припущення 5. Нехай протягом часу моделювання кількісний склад розглядуваної групи залишається сталим (серед мешканців
немає ні смертей, ні ізоляції, ніхто не вибуває й не прибуває). Для не дуже великих груп і не дуже тривалих проміжків часу з цим можна погодитись.

Тепер зробимо інформацію, що виводиться на екран, дещо більш зручною для огляду та аналізу. З цією метою штучно створимо обмеження кількості знавців N_j так, щоб вона не перевищувала загальної чисельності S мешканців населеного пункту.

З цією метою вдамося до деяких змін у алгоритмі:

– п. 2: додати до вхідних даних нову змінну S (комірка D4) – чисельність населення (наприклад, 10000 – комірка Е4):

– п. 4.2:

обчислити Δ N згідно (1)

якщо кількість знавців N_j не менша за S

то у наступному рядку виконати надання

Δ N = S - N_{j- 1}

інакше Δ N залишити попереднім

Все

Відповідно у таблиці

– п. 4.3:

якщо N_{j– 1} + Δ N не менше за S

то у наступному рядку виконати надання N_j = S

інакше N_j = N_{j– 1} + Δ N

Все

У таблиці це реалізуємо наступною формулою:

Решту пунктів алгоритму залишити без змін (насамперед).

Перегляд нової таблиці (рис. 3.2) доводить, що поставленої мети досягнуто: тепер достатньо одного погляду, щоб одразу встановити, після якого передавання все населення стає інформованим. Одночасно з таблиці зникає зайва інформація.

Рис. 3.2.

Висновки

1. Розглянута версія моделі є украй спрощеною. Покладені в її основу Припущення 1–5 приводять до результату, який неважко було б передбачити заздалегідь і без моделювання. А саме: чисельність знавців у міру зростання кількості передавань швидко й необмежено зростає.

2. Поява обмеження чисельності знавців принципово не робить модель більш вірогідною. Адже ми розуміємо, що вжиті задля цього дії мають відверто штучний характер: обмеження кількості знавців аж ніяк не випливає із самої моделі (системи рівнянь).

3. На цьому етапі роботи ми не повинні серйозно обговорювати питання про відповідність між моделлю і розглядуваним процесом (питання про адекватність моделі): якщо вона й існує, то є украй поверховою.

Зауваження. При обговоренні питання про адекватність математичної моделі слід мати на увазі не адекватність взагалі (такої просто не існує), а адекватність відносно певних ознак або властивостей об’єкту. Зокрема, для розглядуваної моделі такою властивістю є динаміка зміни чисельності знавців новини. Ігнорування тієї обставини, що адекватність моделі є лише відносним фактом, може привести до грубих помилок, заснованих на безконтрольному приписуванні реальному об’єкту властивостей його моделі. Саме тому не варто серйозно сприймати результат, згідно з яким через 15 сеансів передавання кількість знавців новини згідно рис. 3.1 перебільшуватиме населення Землі.

4. Основне значення даної версії полягає в тому, що вона може бути використана як основа для подальшого поліпшення моделі.

5. Згідно п. 1 обчислювального експерименту вираз (3)

N_j = N_{j– 1}(1 + k)

задає геометричну прогресію, суму її перших j членів можна знайти за відомою формулою

S_j = N ₀ · (1 + k) ^j .

Варто звернути увагу на те, що існує чимало об’єктів, які описуються цією формулою точно, проте не мають ніякого відношення до поширення чуток. Зокрема, якщо N ₀ – розмір початкового грошового внеску, а k – річний банківський відсоток, то S_j – розмір внеску через j років. В даному прикладі j – обов’язково натуральне число. У ряді інших випадків j може набувати дійсних значень.

А чи можете ви навести подібний приклад?