Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Математические модели макро-уровня
|
|
Примеры моделей на основе закона сохранения энергии Закон сохранения энергии вместе с некоторыми дополнительными предположениями применим для построения моделей распространения тепла в конденсированной среде. Рассмотрим некоторые физические и математические свойства полученных моделей.
Тепловая энергия (тепло) – это энергия хаотического движения атомов вещества. Обмен теплом между различными участками материала называется теплопередачей, а сами материалы, обладающие хорошо выраженным свойством теплопередачи, – теплопроводными. К ним относятся, например, металлы, в которых тепловая энергия переносится в основном свободными электронами. Процессы передачи тепла рассматриваются в условиях локального термодинамического равновесия, когда длина свободного пробега частиц вещества много меньше характерных размеров моделируемой системы. Локальное термодинамическое равновесие подразумевает также, что процессы изучаются на временах, много больших чем время между столкновениями частиц, и на размерах, много больших чем длина свободного пробега. Тогда в областях моделируемой системы, размеры которых превосходят длину свободного пробега, но много меньше размеров системы, устанавливается термодинамическое равновесие, и для них можно ввести средние величины плотности, температуры и т.д. Внутренняя энергия вещества определяется через температуру T с помощью величины удельной теплоемкости c (ρ, T):
где ρ – плотность вещества, ε (ρ, T) - внутренняя энергия единицы массы.
Для получения модели теплопередачи необходимо ввести понятие потока тепла – W (тепловой энергии) – это количество тепла, переносимое в единицу времени через единичную поверхность, помещенную в данную точку вещества. Очевидно, что это векторная величина, поскольку она зависит от ориентации единичной поверхности. Зависимость вектора потока тепла от распределения температуры определяется законом Фурье:
, (14.64)
λ (ρ, T) - называется коэффициентом теплопроводности.
Закон Фурье гласит: поток тепла пропорционален градиенту температуры. Кстати, этим же свойством обладает близкий по сущности процесс диффузии вещества (закон Фика). Закон сохранения энергии в дифференциальной форме с учетом выражения (14.64) можно записать в виде уравнения, описывающего распространение тепла:
. (14.65)
Уравнение (14.65) – нестационарное, трехмерное (функция T(t, x, y, z) зависит в общем случае от времени и трех пространственных переменных) уравнение параболического типа. Оно неоднородное и нелинейное, так как плотность, теплоемкость и коэффициент теплопроводности могут зависеть от температуры и быть разными в разных точках системы. При дополнительных предположениях о характере процесса теплопередачи уравнение (14.65) может упрощаться. Так для однородной изотропной конденсированной среды с постоянными ρ, c, λ, уравнение принимает вид:
, (14.66)
где величина a называется коэффициентом температуропровод-ности. Для линейного уравнения (14.66) можно выписать общее решение, которое будет зависеть от начальных и граничных условий.
Из уравнения (14.65) можно получить и более сложные случаи, чем уравнение (14.66), соответствующие более сложным механизмам теплопередачи. Так, для неизотропной среды (коэффициенты теплопроводности разные по разным направлениям - λ x, λ y, λ z, например, для кристаллической структуры с электронной теплопроводностью или в достаточно сильном магнитном поле) с энерговыделением (из-за идущих в веществе химических реакций или протекания электрического тока) вместо уравнения (14.65) имеем:
, (14.67)
f – мощность выделения (поглощения) энергии.
Математическая модель, кроме формулировки дифференциального уравнения, включает также задание соответствующих начальных и граничных условий. Например, в момент времени t = 0 задается начальное распределение температуры: T 0(x, y, z). На границах моделируемой задачи может быть задано:
1) температура как функция времени, когда на границе с помощью внешних источников тепла поддерживается определенная температура, зависящая от времени (первая краевая задача);
2) потоки тепла как функции времени, например, когда граница нагревается лазерным источником (вторая краевая задача);
3) более сложное (нелинейное) условие излучение энергии с границы во внешнюю среду или иной вид краевых условий.
Разнообразие постановок краевых условий для уравнений теплопередачи связано с различными идеализациями исходной задачи. Отметим, что в случае стационарного уравнения теплопередачи задаются лишь граничные условия.
Свойства моделей теплопередачи. Наиболее простая из всех задач теплопроводности – задача о стационарном процессе для уравнения (14.5):
на отрезке 0 £ x £ l с граничными условиями
, 
.
Ее решением является линейная функция координаты x:
.
Данное решение имеет вполне очевидный физический смысл: при стационарном процессе потоки тепла, входящие в любое поперечное сечение стержня и выходящие из него, равны, иначе температура в сечении будет меняться. Поэтому поток тепла должен быть постоянен в любой точке, что по закону Фурье (14.3) при постоянном коэффициенте теплопроводности возможно лишь при линейном распределении температуры.
Вместе с тем применение закона Фурье приводит к появлению не имеющего физического смысла эффекта, характерного для уравнений параболического типа. Рассмотрим задачу о мгновенном источнике тепла для уравнения (14.5), решаемом во всем пространстве: - ¥ < x < ¥, для всех t > 0, вызванное выделением в момент t = 0 в плоскости x = 0 некоторого количества тепла Q0. Начальная температура считается равной нулю: T (x, 0) = T 0(x) = 0. Такая постановка – идеализация реального процесса, справедливая при выполнении соответствующих условий (например, по центру холодного стержня пропускается мощный поперечный импульс электрического тока, действующего очень короткое время и затрагивающего малый участок металла). Решение поставленной задачи дается формулой
, при t > 0. (14.68)
Симметричная функция (14.68) в силу известного равенства:
обладает свойством
, t > 0,
так что закон сохранения энергии выполняется. В то же время согласно (14.68) температура в любой точке пространства в любой момент времени t > 0 отлична от нуля. Тем самым модель (14.66) и многие другие модели теплопередачи описывают процессы с бесконечной скоростью распространения возмущений. Этого недостатка лишены (при определенных условиях) уравнения типа нелинейной теплопроводности:
(14.69)
с λ (T) = a 0 T s, s > 0. Для уравнения (14.69) рассмотрим процесс распространения тепла в полупространство х > 0 при заданной на границе температуре: T (0, t) = T 1(t). Начальная температура среды считается нулевой. Частное решение этой задачи, отвечающей граничному закону:
, t > 0,
имеет вид бегущей волны, распространяющейся от границы вглубь вещества не с бесконечной, а с конечной скоростью D > 0:
. (14.70)
Графический вид решений типа бегущей волны иллюстрирует рис. 14.6.
Рис. 14.6. Вид решения уравнения нелинейной теплопроводности (14.70)
Однако это свойство реализуется лишь при распространении тепла в холодную среду и теряется в случае отличной от нуля начальной температуры вещества.
Описанный дефект, связанный с неприменимостью закона Фурье в окрестности фронта распространения тепловой энергии, не препятствует широкому использованию параболических уравнений так как доля энергии, содержащейся в веществе при достаточно больших значениях х, ничтожно мала по сравнению с полной энергией Q 0.
|
|