Примеры нормированных пространств

Пример 10.1. Линейное пространство R^m – нормированое пространство с нормой

(10.2)

Это нормированое пространство называется m-мерным евклидовым пространством.

Если m = 1, то имеем пространство R ¹, норма которого = .

Докажем, что функция (10.2) – норма пространства R^m.

Очевидно, что функция (10.2) удовлетворяет аксиомам 1–2. Докажем выполнение аксиомы 3.

3Пусть x = (x₁ , x₂, …, x_m), y= (y₁, y₂, …, y_m) произвольные элементы линейного пространства R^m, q = (0, 0,..., 0) – нулевой элемент и - у = (-у₁ , - у₂, …, - у_m) – элементы пространства R^m. Элементы x, -y, q также являются элементами и метрического пространства R^m. Поэтому в силу неравенства треугольника для этого пространства будем иметь неравенство

r (х, -y) £ r (х, q) + r (q, -y),

т.е. Þ (по формуле (10.2))

£ 4

Пример 10.2. Линейное пространство l ₂ – нормированное пространство с нормой , где числовые последовательности(x_n) = (x₁, x₂, …) Ì l ₂.

Пример 10.3. Линейное пространство C [ a, b ] – нормированое пространство с нормой функций x (t)

" хÎ C [ a, b ].

Пример 10.4. Линейное пространство C₁ [ a, b ] – нормированое пространство с нормой функций x (t)

" хÎ C₁ [ a, b ].

Поскольку всякая норма задает метрику, то в нормированном пространстве естественным образом определяются сходимость, непрерывность, полнота и другие понятия, связанные с расстоянием.