Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Таким образом, задание нормы на линейном пространстве преобразует его в нормированное пространство.
В любом нормированном пространстве А формула r (x, y) = (10.1) определяет метрику. Действительно: 1) r (x, y) = ; r (x, y) = Û x = y; 2) r(x, y) = = = = r (y, x); 3) r (x, y) = =r (x, z) + r (z, y). Метрика r, которая введена по формуле (10.1), обладает двумя дополнительными свойствами: 4) r (x, y) = r (x + z, y + z); 5) r (lx, ly) = r (x, y). Возникает вопрос о возможности введения нормы в линейном метрическом пространстве через метрику. Оказывается, что это возможно не всегда. Но имеет место следующее утверждение: если в линейном метрическом пространстве А метрика r обладает двумя дополнительными свойствами 4–5, то функция r (х, q) является нормой на линейном пространстве А и эта норма порождает первоначальную метрику: = = r (х, q). 3Проверим выполнение аксиом нормы: 1) = r (х, q) ³ 0, = r (х, q)= 0 Û х = q; 2) =r (lx, q) =r (lx, l× q) = ê l ê × r (х, q) = ê l ê × ; 3) = r (х + y, q) = r (х, -y) £ r (х, q) + r (-y, q) = 4
|