Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейныя пространства
|
|
Понятие линейного пространства занимает важное место в современной математике. Оно является естественным обобщением обычного трехмерного евклидового пространства. В линейном пространстве определены две алгебраические операции: сложение элементов пространства и умножение их на скаляры (числа), подчиненные определенным условиям.
Определение 10.1. Пусть К – поле действительных или комплексных чисел. Непустое множество А называется линейным (векторным) пространством над полем К, если для каждых двух его элементов х и y определена их сумма х+yÎ А и для любого числа lÎ K определено произведение l× х Î А так, что эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:
1) x + y = y + x, " x, yÎ А (закон дистрибутивности);
2) (x + y) + z = x + (y + z), " x, y, z Î А (закон ассоциативности сложения);
3 ) $ qÎ А такой, что x + q= x, " xÎ А;
4) " xÎ А $ - xÎ А такой, что x + (- x) = q;
5) 1 × x = x " xÎ А, 1Î К;
6) l (x + y) = lx + ly, " x, yÎ А, " lÎ К;
7) (l + m) х = lх + mх, " xÎ А и " l, m Î К (6), 7) – законы дистрибутивности);
8)(lm) x = l (mx), " xÎ А и " l, mÎ К (закон ассоциативности умножения).
Элементы этого пространства называют векторами. Элемент q – нулевой элемент, -х – элемент, противоположный элементу х, элемент x - y = x + (- y) – разность элементов x и y.
Линейное пространство над R называется действительным линейным пространством, а линейное пространство над полем С комплексных чисел – кмплексным линейным пространством.
Не будем останавливаться на свойствах линейных пространств. Они подробно изучаются в курсе линейной алгебры. Рассмотрим только некоторые примеры линейных пространств, которые используются в курсе математического анализа.
Пример 10.1. Множество действительных чисел R с обычными операциями сложения и умножения – линейное пространство и обозначается R или R1 .
Пример 10.2. Рассмотрим множество Rm различных упорядоченных совокупностей m действительных чисел. Определим на нем операции сложения и умножения:
где 
x и y Î Rm, lÎ R.
Эти операции удовлетворяют аксиомам 1–8, причем нулевым элементом является q = (0, 0,..., 0) и элемент, противоположный элементу х: - x = (-x 1, -x 2, …, - xm).
Таким образом, пространство Rm – линейная пространство (над полем R).
Пример 10.3. Множество C [ a, b ] функций, определенных и непрерывных на отрезке [ a, b ]со значениями в R – линейная пространство (над полем R) с обычными операциями сложения числовых функций: (x + y)(t) = x (t) + y (t) Î C [ a, b ]иумножения их на действительные числа: (lx)(t) = lx (t) Î C [ a, b ].
Пример 10.4. Множество l2 числовых последовательностей (xn ), для которых сходятся ряды 
- линейное пространство (над полем R) с операциями сложения последовательностей: (xn) + (yn) = (xn + yn) и умножения их на действительные числа: l (xn) = = (lxn). Можно проверить, что эти операции удовлетворяют аксиомам 1–8.
|
|