Пример прямого, простого ранжирования

Если в ряду четное число данных, то медиана вычисляется из двух срединных значений признака получением их среднего арифметического.

Медиана (Ме) применима к ординальным переменным, значение которых можно упорядочить от меньшего к большему. Она удобна при работе с большим массивом данных.

В случае появления интервального ряда с различными значениями частот Ме вычисляется по формуле (см. шкала Терстоуна).

Если респонденты единодушны, как при оценке объектов n₁ и n₈ (см. табл. 9), то медиана может служить средним рангом.

Мода – модальное значение – это наиболее часто встречающееся значение " места", " ранга" в распределении объектов (сортов). Она указывает наиболее типичное, распространенное значение в распределении.

Например, объект 1 имеет моду (Мо) 4, так как среди совокупности рангов, полученных этим объектом, больше всего четвертых мест. А объект 8 имеет моду 6, т.е. 6 встречается чаще всего.

Если мода совпадает с медианой (как у объектов 1 и 8), то это означает единодушие респондентов в своих оценках или близость этих оценок. В этом случае и средний ранг по группе определяется легко.

У моды есть недостатки, ограничивающие ее интерпретацию. Может встретиться две и более Мо, что означает бимодальность или мультимодальность показателей. Это усложняет их интерпретацию, а при большом числе одинаковых частот какая-либо интерпретация моды вообще невозможна.

В тех случаях, когда мода и медиана различаются либо имеется два модальных значения (как у объектов 4 и 7), либо моды вообще нет (при большом количестве респондентов такого не бывает), наблюдается резкое отличие рангов.

При нескольких модальных значениях нельзя ранжировать все объекты в один ряд, появляется необходимость выделения типологических групп среди респондентов. Каждая такая группа может обладать специфическим " средним" мнением по поводу данного объекта. Хотя здесь мы может не получить ранжированный ряд по всем респондентам. Значит, нужна другая логика рассуждений. Возможно другие цели исследования.

При использовании всех этих величин необходимо иметь в виду, что среднее арифметическое может быть характеристикой всего распределения, если он (показатель) опирается на все наблюдаемые признаки.

Медиану лучше применять в тех случаях, когда мы видим существенный разброс (большие колебания) показателей изучаемого признака, когда распределение признака выглядит сильно ассиметричным. В этих случаях медиану вычисляют в дополнение к средней арифметической.

Медиана указывает именно среднюю позицию в упорядоченном распределении. Она лучше соответствует нашему представлению о середине ряда чисел.

В симметричном распределении среднее арифметическое, медиана и мода совпадают в одной точке, т.е. серединная величина является в то же время медианой и модой:

Х = Ме = Мо.

В других случаях мы можем увидеть право- или левостороннюю ассиметрию, когда Ме и Мо будут меньше или больше среднего арифметического.

В правостороннем ассиметричном распределении Ме и Мо всегда меньше среднего арифметического, в левостороннем ассиметричном распределении – больше:

Мо < Ме < Х; Х < Ме < Мо.

В ассиметричном распределении Ме находится между Мо и средним арифметическим. Между средним арифметическим, Ме и Мо существует приблизительное соотношение, которое имеет место в умеренно ассиметричных распределениях

Мо = Х – 3 (Х – Ме).

Например, чтобы представить уровень доходов семей (населения), можно использовать среднее арифметическое на одну семью. Но этого будет недостаточно для общей оценки проблемы. Больше ясности будет, когда мы увидим какая часть (процент) семей находится выше этого среднего уровня, а какая – ниже. Для этого можно использовать показатель медианного дохода. Он делит всю совокупность на две равные части. Медиана может быть значительно ниже среднего арифметического. Семьи с доходом ниже среднеарифметического могут составлять до 3/4 населения. Когда показываем медианный доход, например 8 тыс. рублей при среднеарифметическом показателе в 10 тыс., то знаем, что 50 % семей находится ниже этого уровня, а 50 % – выше его. На медиану не влияют крайние значения распределения, в то время как среднее арифметическое зависит от них. Например, прибавление в составе высокодоходной части семей (населения) некоторого числа миллионеров в значительной степени искажает реальную картину об уровне доходов граждан.

Если в распределении большинство значений тяготеет к середине и не видно слишком больших и маленьких крайних значений, то лучше использовать среднее арифметическое. Если же на месте крайних значений увидим такие показатели, которые могут сильно влиять на среднее, то лучше использовать медиану.

Как правило, сравнение средних величин осуществляется в ходе анализа данных.

При сопоставлении данных можно использовать Мо (модальный доход), т.е. доход, получаемый наибольшим числом семей, определить насколько он ниже среднего дохода.

Например, средний доход на семью (условный пример) в 10 тыс. рублей и выше могут иметь лишь 20 % семей. Ме показывает 8 тыс. рублей, а Мо – 6 тыс. рублей. При более высокой концентрации средств у высокодоходной части семей, средняя арифметическая будет сильнее искажать общую картину уровня жизни населения. Этот показатель может дать более объективную оценку в том случае, когда усредняемый показатель характеризует совокупность качественно однородных единиц, т.е. если изучаемая совокупность близка по характеризуемому признаку. В нашем примере это означает, что сравниваемые группы семей не имеют больших полярных социальных различий. Другими словами, сравниваемые объекты должны быть сравнимы.