Примеры точечного преобразования

Уравнения объекта и регулятора имеют вид

где F(x) — гистерезисная релейная характеристика (рис. 3.10). Эту систему уравнений перепишем в виде

(3.17)

Рис.3.10

На фазовой плоскости (х, у) нанесем линии переклю­чения, соответствующие заданной нелинейной характеристике (рис. 3.10): х = b при y > 0, x = — b при y < 0. Это будут полупрямые П₀ и П₁ (рис. 3.11).

Рис.3.11

Пусть в точке Q будет t = 0, а в точке Q₁ обозначим . На участке фазовой траектории QQ₁ имеем F(x) = с. Поэтому уравнения (3.17) принимают вид

Интегрирование их дает

(3.18)

(3.19)

t = τ, х = — b, у = у₁

Из последнего уравнения непосредственно находим

(3.21)

Тогда из (3.20) с учетом (3.21) получим

(3.22)

Формулы (3.21) и (3.22) и являются искомым законом точечного преобразования в параметрической форме.

Построим диаграмму (рис. 3.12) точечного преобра­зования в виде кривых и .

Рис. 3.12.

Рис. 3.13.

Рис.3.14

Рис. 3.15.

(3.23)

Рис.3.16 Рис.3.17

Начнем с первого случая (QQ₁Q₂). На участке QQ₁, где F(x) = с, имеем решения уравнений (3.17) в виде

, (3.24)

t = 0, х = b₂, у = y₀

C₁ = y₀ + k₁c C₂ = b₂ + T₁(y₀ + k₁c)

В точке Q₁ имеем: t = τ ₁, x =b₁, у = у₁

откуда находим

(3.25)

(3.26)

Используем далее уравнение (3.23) для участка тра­ектории Q₁Q₂. С учетом начальных условий

t = τ ₁, x = b, y = y₁ (3.27)

найдем произвольную постоянную

(3.28)

В точке Q₂ имеем t = τ, х = - b2, у = y_2. Поэтому из (3.23) получаем

(3.29)

или, согласно (3.26),

(3.30)

Рис.3.18

Чтобы определить время для всей траектории QQ₁Q₂, решим первое уравнение (3.17) на участке Q₁Q₂, где F(x) = 0. Получим

Из начальных условий (3.27)

Откуда

Или, согласно (3.29)

(3.31)