Метод точечного преобразования

(3.12)

Зависимость (3.13),

соответствующая ходу фазовой траектории в силу реше­ния уравнений (3.12), называется функцией последова­ния. Функция последования определяет закон точечного преобразования для данной нелинейной системы.

Рис.3.5.

Определение последующих точек по заданным исход­ным на отрезке АВ и называется точечным преобразова­нием отрезка АВ самого в себя. Ввиду непрерывности расположения фазовых траекторий исходные и последую­щие точки заполняют весь отрезок. Однако каждая точка отрезка АВ не обязательно имеет последующую внутри этого отрезка. Фазовые траектории, пересекающие отре­зок, могут и не возвращаться к нему.

Возможен такой случай, что последующая точка Q' совпадает с исходной Q, т. е.

(3.14)

Рис.3.6

условие устойчивости предельного цикла имеет вид

(3.15)

На других гра­фиках рис. 3.7 показаны: б) случай двух предельных циклов, из которых один неустойчивый, а второй устой­чивый;

Рис.3.7

в) случай расходящихся колебаний; г) случай затухающих колебаний.

Такого типа графики (рис. 3.6, 3.7) называются ди­аграммами точечного преобразования.

В большинстве случаев бывает легче представить функцию последования в параметрической форме.

Рис. 3.8

Параметрическая фор­ма точечного преобра­зования в качестве параметра содержит вре­мя прохождения изо­бражающей точки по фазовой траектории от исходной точки Q (рис. 3.5) до ее после­дующей Q'. Через этот параметр на основа­нии решения урав­нений (3.12) выражаются координаты точек Q и Q', а именно

, (3.16)

Весь ход точечного преобразования показан на рис. 3.8 стрелками.

Рис. 3.9.

Рис. 3.9 иллюстрирует параметрические диаграммы точечного преобразования для тех же четырех случаев, что и на рис. 3.7.