Общее уравнение плоскости

Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ задана плоскость α, проходящая через точку М₀(х ₀, у ₀, z ₀). Возьмем произвольную точку М(х, у, z) α и обозначим (А, В, C) – нормальный вектор плоскости α.

Очевидно, что , то есть (х - х ₀) + В(у - у ₀) + C(z - z ₀) = 0

Раскроем скобки и обозначим D= -А x ₀ - В у ₀ - C z ₀. Получим

A x + B y + С z + D = 0 (*)

- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости.

Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A²+B²+C² ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.

Пусть

1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.

2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ

3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.

Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда

- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.