Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.

Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида

А x + B y + С = О, (1)

где А, В, С R и А² + В² 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.

Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.

Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда

-Ах-By=-С, и .

Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим

- уравнение в отрезках.

Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.

Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M₁(x₁, у₁) и М₂(х₂, у₂) принадлежит l. Тогда

А x ₁ + В у ₁ + С = А х ₂ + В у ₂ + С, то есть A(x ₁- x ₂) + В(у ₁- у ₂) = 0.

Последнее равенство означает, что вектор =(А, В) ортогонален вектору =(x₁-x₂, у₁-у₂). т.е. Вектор (А, В) называется нормальным вектором прямой l.

, т.е.

a'₁₃=a₁₃cosφ +a₂₃cosφ

a'₂₃=a₂₃cosφ -a₁₃sinφ

a'₃₃=a₃₃ (4)

Вывод: старшие коэффициенты а'₁₁, а'₁₂ и а'₂₂, выражаются только через угол φ старшие коэффициенты а₁₁, а₁₂ и а₂₂. Коэффициенты а'₁₃ и а'₂₃ выражаются только через угол φ и коэффициенты а₁₃, а₂₃. Коэффициенты а'₃₃ и а₃₃ равны.

Для упрощения равенств (4) введем следующие обозначения:

.

Тогда

,

если А 0. Введем угол α, где

,

(2)

Тогда уравнение (*) примет вид:

(3)

Вывод: при параллельном переносе системы координат, коэффициенты группы старших членов не изменяются, а коэффициенты линейной части изменяются по формулам (2).

Применим формулы поворота системы ОХУ на угол φ т.е.

х=х'соsφ -y'sinφ;

y=x'sinφ +y'cosφ;

Получим:

Тогда в новой системе координат, уравнение (1) примет вид:

где

Рассмотрим вектор =(-В, А). Тогда

=А(-В)+ВА=0. т.е. ^ .

Следовательно, вектор =(-В, А) является направляющим вектором пряной l.