Системы линейных уравнений общего вида

Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
— Сам записывает клиентов и напоминает им о визите
— Персонализирует скидки, чаевые, кешбек и предоплаты
— Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать

Начать пользоваться сервисом

Как продвинуть сайт на первые места?

Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.

Ускорение продвижения

Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.

Начать продвижение сайта

Системы линейных уравнений общего вида

Если система уравнений оказалась совместной, т. е. матрицы

имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности ‑ a)

, б)

а) Если

, то имеем

независимых уравнений с

неизвестными, причем определитель

этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое, например, по формулам Крамера.

б) Если

, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные

, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

Ее можно решить относительно

, так как определитель этой системы (

порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для

. Таким образом, при

имеем бесчисленное множество решений.

Система уравнений называется однородной, если все

, т. е. она имеет вид:

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением

. Пусть матрица

системы имеет ранг

Если

, то нулевое решение будет единственным решением системы; при

система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор ‑ столбец

называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы

), если найдется такое число

, что будет выполняться равенство

Число

называется собственным значением линейного преобразования (матрицы

), соответствующим вектору

. Матрица

имеет порядок

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица

является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы

по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы

перепишем равенство

в виде

, где

- единичная матрица

порядка или в координатной форме:

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

Получили уравнение

степени относительно неизвестной

, которое называется характеристическим уравнением матрицы

, многочлен

называется характеристическим многочленом матрицы

, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы

Для нахождения собственных векторов матрицы

в векторное уравнение

или в соответствующую систему однородных уравнений нужно подставить найденные значения

и решать обычным образом.

Пример 18. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

Решение. Будем находить ранги матриц

методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

Очевидно, что

. Исходная система равносильна следующей системе, приведенной к ступенчатому виду:

Поскольку определитель при неизвестных x ₁ и x ₂отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

откуда

‑ общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x ₃, x ₄, x ₅конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при

. Вектор

является частным решением данной системы.

Пример 19. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра

Решение. Данной системе соответствует матрица

следовательно, исходная система равносильна такой:

Отсюда видно, что система совместна только при

. Общее решение в этом случае имеет вид:

Пример 20. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется векторное равенство:

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

Система приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы равен

, значит однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (

). Определитель при неизвестных x ₁, x ₂, x ₄ отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x₃ и x₅ не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например,