Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Обратная матрица






    Пусть дана квадратная матрица:

    .

    Обозначим .

    Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если .

    Квадратная матрица называется обратной для квадратной матрицы того же порядка, если их произведение , где - единичная матрица того же порядка, что и матрицы и .

    Теорема. Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

    Матрица, обратная матрице , обозначается через , так что . Обратная матрица вычисляется по формуле

    ,

    где - алгебраические дополнения элементов . Или

    Таким образом, обратная матрица – это транспонированная матрица алгебраических дополнений, умноженная на коэффициент .

    Вычисление обратной матрицы по этой формуле для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП).

    Любую неособенную матрицу путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице .

    Если совершенные над матрицей ЭП в том же порядке применить к единичной матрице , то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами и одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту.

    Замечание. Отметим, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

    Пример 15. Для матрицы найти обратную ей матрицу.

    Решение. Находим сначала детерминант матрицы (для этого прибавляем ко второму столбцу первый, а от третьего отнимаем первый, деленный на два):

    значит, обратная матрица существует, и мы ее можем найти по формуле:

    ,

    где ‑ алгебраические дополнения элементов исходной матрицы.

    , ,

    , ,

    , ,

    , ,

    Откуда

    .

    Пример 16. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: .

    Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.

    1. Поменяем местами первый и второй столбцы:

    .

    2. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на :

    .

    3. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на второй;

    .

    4. Прибавим третий столбец к первому и второму:

    .

    5. Умножим последний столбец на :

    .

    Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице . Итак,

    .

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.