Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Системы линейных уравнений.
|
|
Система линейных уравнений имеет вид:
Здесь 
и 
‑ заданные, а 
‑ неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему в виде:
AX = B
где 
- матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, которая называется матрицей системы, 
, 
- векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных 
xj и из свободных членов bi.
Упорядоченная совокупность 
вещественных чисел 
называется решением системы, если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных 
каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество.
Система называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.
Матрица
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и 
совпадают, т.е. 
.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда
. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных 
; если 
, то 
уравнений являются следствиями остальных. Если 
, то система является неопределенной.
Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:
Эти системы решаются одним из следующих способов:
1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным методом.
Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:
.
Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу 
; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:
, 
.
Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. 
. Для вычисления ранга расширенной матрицы рассмотрим окаймляющий минор
,
значит, ранг расширенной матрицы 
. Поскольку 
, то система несовместна.
|
|