Заполнение электронами и дырками зон невырожденного полупроводника

Вероятность заполнения энергетического уровня для частицы с полуцелым спином (фермионов), то есть вероятность нахождения электрона на уровне с энергией E, определяется статистикой Ферми-Дирака (1.18)

,

(2.4)

где k – постоянная Больцмана, F – энергия Ферми.

,

(1.19)

б

Рис. 1.7

Для невырожденного полупроводника E-F»kT, »1, тогда можно применить статистику Максвелла-Больцмана:

,

(2.4)

Для того чтобы рассчитать концентрацию всех свободных электронов, т.е. концентрацию электронов в зоне проводимости, необходимо проинтегрировать по всей зоне проводимости, согласно (1.19). Поскольку функция Больцмана – очень быстро спадающая экспонента, при интегрировании по зоне в качестве верхнего предела использована ∞:

,

(2.6)

где N_с – эффективная плотность состояний в зоне проводимости или плотность квантовых состояний у дна зоны проводимости в свою зависит от температуры.

,

(2.8)

Если подставить численные значения универсальных констант, то получим:

,

(2.10)

В частности для кремния:

,

Функция распределения Ферми-Дирака для дырок имеет вид:

,

(2.5)

Функция распределения Максвелла-Больцмана для дырок

.

(2.5)

Для расчета общего количества свободных дырок выполним интегрирование по валентной зоне:

(2.7)

Эффективные плотности состояний для валентной зоны:

(2.9)

Для кремния

Значения эффективной плотности состояний для основных полупроводниковых материалов при комнатной температуре представлены в следующей таблице.

Свойство	Ge	Si	GaAs
, см-3	1, 02ּ 1019	2, 8ּ 1019	4, 7ּ 1017
, см-3	6, 1ּ 1018	1, 0ּ 1019	7, 0ּ 1018

Графически концентрации электронов и дырок можно определить согласно рис. 2.7.