Зонная теория твердого тела

До тех пор, пока электрон будет находиться в кристалле, он будет не совсем свободен, то есть находиться в периодическом поле всей решетки кристалла. Другими словами даже «свободный» электрон будет принадлежать всем образующим кристалл атомам. При этом электрон получает возможность беспрепятственно перемещаться по кристаллу от атома к атому без изменения энергии.

Как видно из рис. 1.1, потенциальная энергия = , где (x, y, z) - радиус-вектор данной точки пространства, - вектор кристаллической решетки. При повышении энергии электрона возрастает вероятность его туннелирования через потенциальный барьер (для туннелирования в квантовой механике не обязательно, чтобы энергия электрона стала больше максимума потенциальной ямы). С другой стороны, даже «свободный» электрон под влиянием потенциального поля может изменить свою траекторию, то есть потерять (рассеять) часть своей кинетической энергии в направлении . Говорят, что такой «квазисвободный» электрон движется в периодическом поле кристаллической решетки.

Каждый энергетический уровень изолированного атома в кристалле расщепляется в зону.

Рис. 1.2. Зонная диаграмма

Энергетические зоны в общем случае разделены запрещенными для электронов энергетическимизазорами (щелями), называемыми запрещенными зонами E_g (g – от gap – промежуток, щель). С ростом энергии (главного квантового числа) ширина энергетических зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается.

Оценим среднее расстояние между соседними уровнями энергии в разрешенной зоне. Пусть постоянная решетки а =0, 4 нм, то есть а³=64·10^-24 см³. Количество элементарных ячеек в объеме V=1 см³ равно числу состояний в зоне: . При ширине зоны 1 эВ среднее расстояние между ее уровнями ~ 10^-22 эВ, то есть энергетическую зону можно считать квазинепрерывной.

На любом энергетическом уровне в разрешенной зоне в соответствии с принципом Паули могут находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами.

Число квантовых состояний в зоне равно общему числу мест на уровнях изолированных атомов, из которых образовалась эта зона, таким образом, на N уровнях могут находиться не более 2N электронов.

Рассмотрим последнюю полностью или частично заполненную зону, сформированную из валентных электронов и следующую за ней, то есть зону энергий, соответствующую энергиям электронов, разорвавших связь с атомами, но не покинувших кристалл.

В каждой энергетической зоне энергия электрона является функцией его квазиимпульса (волнового вектора): = . На рис.1.3 для двух смежных зон представлены простейшие зависимости E (k), характерные для кубического кристалла. Вблизи экстремумов мы получаем параболическое изменение энергии.

Рис. 1.3. Энергетическая диаграмма	Упрощенная энергетическая диаграмма

Верхняя зона называется зоной проводимости, поскольку зона имеет множество свободных состояний, попавшие в неё электроны могут перемещаться под действием внешних полей, изменяя свое положение и энергию, т.е. создавая токи проводимости.

Нижняя зона – валентная. Электрон попасть в зону проводимости из валентной зоны может, только преодолев запрещенную зону величиной E_g. Энергетический уровень, соответствующий дну зоны проводимости принято обозначать E_c. Энергетический уровень, соответствующий потолку валентной зоны обозначают E_v.

Таким образом, E_g = E_с – E_v.

В зависимости от положения экстремумов энергетических зон различают прямозонные и непрямозонные полупроводники (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Зонная диаграмма

Ширина запрещенной зоны E_g - одна из важнейших характеристик вещества и может принимать как положительные (для диэлектриков и полупроводников), так и отрицательные значения. В последнем случае дно зоны проводимости будет находиться при энергиях меньших, чем потолок валентной зоны. На рис.1.5 приведена схема энергетических зон для полупроводников, диэлектриков и металлов.

Рис. 1.5.

Полупроводники и диэлектрики отличаются только шириной запрещенной зоны. Так, у диэлектриков ширина запрещенной зоны, как правило, больше 4 эВ. При комнатной температуре тепловой энергии недостаточно для заброса электронов из валентной зоны в зону проводимости. Для металлов характерно отсутствие запрещенной зоны.

При воздействии на кристалл температуры и давления изменяются расстояния между атомами, области перекрытия волновых функций. Это вызывает изменение ширины энергетических и запрещенных зон.

,	(1.17)
Рис. 1.6. Температурная зависимость Eg для кремния

Значения близки к единице, - температурный коэффициент изменения ширины запрещенной зоны. < 0 для большинства полупроводников.

Значения , и для основных полупроводников, применяемых в микроэлектронике приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Значение E_g и для некоторых полупроводников

Полупроводники	Ge	Si	GaAs
Eg(T =300K), эВ	0, 66	1, 11	1, 43
(T=0K), эВ	0, 74	1, 166	1, 52
, эВ·К-1	-2, 4·10-4	-3, 9·10-4	-4, 3·10-4

Для свободного электрона мы записывали = .Отличие свободного электрона, от электрона, находящегося в кристалле в его эффективной массе, определяемой как:

.

(1.21)

Вторая производная характеризует степень крутизны зависимости E(k), чем круче эта зависимость, тем меньше масса электрона. Эффективная масса электрона в кристалле зависит от его энергии и является характеристикой материала.

До сих пор мы рассматривали случай, когда уровень Ферми находится в разрешенной зоне. Такой полупроводник называется вырожденным. В невырожденном полупроводнике уровень Ферми находится между зоной проводимости и валентной зоной, то есть внутри запрещенной зоны.

Глава 2. Электропроводность полупроводников