Свойства смешанного произведения

Смешанное произведение трех векторов равно нулю , если:

а) хоть один из перемножаемых равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарность).

Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, т.е. .

В силу этого свойства смешанного произведение векторов , и записывается в виде .

Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке:

При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак:

, ,

Пусть векторы заданы их разложениям по ортам: , , .

Тогда

Некоторые приложения смешанного произведения