Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i, j, k соответственно (рисунок 5.5) и зададим произвольную точку М трехмерного пространства

Рисунок 5.5

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат:

.

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координаты плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через , и . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда , , . По определению суммы нескольких векторов находим

А так как , , то

(5.1)

Но

, , (5.2)

Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через , и , т.е. , , . Тогда из равенства (5.1) и (5.2) получаем

(5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Числа , , называется координатами векторами , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывается в координатной форме

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора

(5.4)

т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны . По свойству проекции вектора на ось, имеем

, ,

Или, что то же самое,

, , (5.5)

Числа , , называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

.

Сократив на , получим соотношение

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа , , , т.е. .

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.