Тема: інтеграл та його застосування

1. «Сергійко насипав в циліндричну каструлю трохи пшона і запитав сусідку тьотю Ліду: «Скільки треба налити води, щоб вийшла смачна каша?» − «Це дуже просто, − відповіла сусідка. – Нахили каструлю, постукай, щоб крупа пересипалась і закрила рівно половину дна. Тепер заміть точку на стінці каструлі біля краю, до якого піднялась крупа і заміть її пальцем. До цього рівня треба налити воду!» − «Так пшона ж можна насипати більше або менше, та й каструлі бувають різні – широкі, вузькі», − засумнівався Сергійко. «Однаково, мій спосіб годиться в будь якому випадку», − з гордістю відповіла сусідка.

Доведіть, що сусідка права: відношення об’ємів води і крупи за її рецептом для будь якої циліндричної каструлі виходить однакове. Знайдіть, чому рівне це відношення».

Розв’язання: Помістимо модель каструлі в систему координат, щоб основа циліндра (каструлі) лежала в площині ХОУ, а центр основи О став початком координат. Через точку х на осі ОХ, , будуємо переріз тіла (тобто гірки крупи всередині каструлі) площиною, перпендикулярною до осі ОХ та паралельною до осі ОУ. Трикутник, який отримали в перерізі, позначимо через . Тоді

, тобто і .

Отже, . Враховуючи, що точка М належить колові радіуса R і має координати (х, у), отримуємо , тобто . Тоді . Звідси

.

Але .

Отже, . Ця величина не залежить від розмірів циліндра (каструлі).