Автоколебательные системы томпсоновского типа

Уже было отмечено, что для автоколебательных систем томпсоновского типа характерны малая нелинейность и малое затухание за период колебаний. Это системы осцилляторного типа, и колебания в таких системах почти гармонические.

Рис. 42. Схема генератора с контуром в цепи управляющего напряжения.

Рис. 43. Схема генератора с контуром в цепи управляемого тока.

Рассмотрим автоколебательные системы с цепью обратной связи. В подобных системах накопителем энергии служит достаточно добротный колебательный контур, а вложение энергии, компенсирующее потери и полезный отбор энергии, осуществляется с помощью активного элемента и цепи обратной связи. В качестве активного элемента в электрических автоколебательных системах чаще всего используют полевые транзисторы, большое входное сопротивление которых не ухудшает добротность колебательного контура. При этом возможны два варианта автогенераторов: с колебательным контуром в цепи управляющего напряжения (рис. 42) и с колебательным контуром в цепи управляемого тока (рис. 43). Активный элемент на этих схемах показан треугольником.

Для генератора с колебательным контуром в цепи управляемого тока (рис. 43) можно записать закон Кирхгофа

.

(6.7)

Пусть в качестве нелинейного элемента используется полевой транзистор, линейная характеристика которого описывается уравнением i = i _С0 + Su, где i _С0 - начальный ток стока, S - крутизна характеристики. Очевидно, что u = q / C = q ₀ x / C, где q ₀ - амплитуда заряда на конденсаторе, тогда уравнение (6.7) запишется следующим образом:

.

В нормированных координатах:

,

где 2 h = R /(w ₀ L), t = w ₀ t, . Если SMw ₀ > 2 h, то в системе будет нарастающий колебательный процесс; если SMw ₀ < 2 h, то амплитуда колебаний будет уменьшаться, т. е. режим стабильной амплитуды практически недостижим.

Нужно отметить, что при сделанных предположениях самовозбуждающиеся колебания в исследуемых системах нарастают неограниченно, чего не происходит в реальных системах. Это связано с тем, что принятая нами линейная аппроксимация ВАХ активного элемента пригодна лишь для небольших пределов изменения x. Это означает также, что при линейной характеристике невозможно получение стационарных автоколебаний и при их описании с помощью фазовой плоскости мы не будем иметь замкнутой фазовой траектории - предельного цикла.

В реальных генераторах выход на стабильную амплитуду достигается за счёт нелинейности усилителя или цепи обратной связи. В рассмотрении автоколебательных систем при нелинейных ВАХ метод комплексных амплитуд не работает, но работает метод гармонического баланса. Воспользуемся разновидностью МГБ - методом колебательных характеристик (МКХ). В этом методе вводится усреднённая крутизна нелинейной характеристики, которая является переменной величиной, зависящей от амплитуды колебаний управляющего напряжения. Будем считать, что цепь обратной связи - высокодобротный колебательный контур. Для такого колебательного контура можно считать напряжение на усилителе синусоидальным, тогда u (t) = U cos(w ₀ t), где w ₀ - собственная частота колебательного контура. Ток на выходе нелинейного усилителя будет периодической функцией времени, и эту функцию можно разложить в ряд Фурье

В рамках гармонического баланса, благодаря высокой добротности колебательного контура, можно ограничиться только основной гармоникой ряда. Введём колебательную характеристику элемента

.

Тогда зависимость выходного тока усилителя от амплитуды напряжения на его входе принимает вид, аналогичный характеристике полевого транзистора:

.

Это уравнение подставим в (6.7), откуда для стационарного режима получаем:

,

а отсюда находим :

.

(6.8)

В зависимости от выбора рабочей точки колебательная характеристика может быть как монотонной, так и не монотонной.

В качестве примера рассмотрим случай, когда активным элементом является МОП-транзистор с встроенным каналом. На рис. 44 показана нелинейная характеристика такого транзистора: i _с = j (u _зи).

Рис. 44. Характеристика зависимости тока стока iс от напряжения uзи на затворе МОП-транзистора.

Рис. 45. Кривая средней крутизны для случая, когда рабочая точка соответствует максимальной крутизне.

Для рабочей точки 1 вблизи начального тока стока колебательная характеристика является монотонной (рис. 45). В этом случае находим единственное решение - стационарную амплитуду колебаний U ₀, при которой в системе обеспечивается баланс вкладываемой и рассеиваемой энергии за период колебаний. Из того же рисунка следует, что полученное решение U ₀ не только единственно возможно, но и устойчиво. Действительно, если амплитуда колебаний U станет больше U ₀, то потери в системе, пропорциональные RC / M, будут превышать вложение энергии, пропорциональное , и амплитуда U вернётся в точку U ₀. И наоборот, если U станет меньше U ₀, то вложение энергии будет превосходить потери и, как следствие, амплитуда колебаний снова увеличится до значения U ₀.

Таким образом, фазовые траектории для такого случая будут выглядеть как показано на рис. 46 (когда ) и рис. 47 (когда ). Такой режим возбуждения с выходом на предельный цикл называется мягким.

Рис. 46. Фазовый портрет автоколебательной системы томпсоновского типа при мягком режиме возбуждения для .

Рис. 47. Фазовый портрет автоколебательной системы томпсоновского типа при мягком режиме возбуждения для .

Выберем рабочую точку 2 где-то на изгибе характеристики, как показано на рис. 44, тогда зависимость усреднённой крутизны от амплитуды колебаний U будет немонотонной (рис. 48). При таком режиме возбуждения в потенциально автоколебательной системе не происходит самовозбуждения, т. е., если флуктуации (амплитуды толчков) в системе не превышают значения неустойчивой стационарной амплитуды U 1, то эти флуктуации спадают до нуля. Поэтому для возбуждения

Рис. 48. Кривая средней крутизны для случая, когда рабочая точка находится на изгибе ВАХ.

автоколебательной системы с такой колебательной характеристикой необходимо сообщить ей толчок, величина которого U должна быть больше или равна U ₁ (жёсткое возбуждение).

Качественное определение устойчивости стационарных амплитуд U ₁ и U ₂, аналогичное случаю мягкого режима, показывает, что решение U ₁ неустойчиво, а решение U ₂ устойчиво. Фазовый портрет для такого случая показан на рис. 49.

Рис. 49.Фазовые траектории автоколебательной системы томпсоновского типа при жёстком режиме возбуждения.	Применим теперь метод ММА к автоколебательным системам томпсоновского типа. На рис. 37 приведена обобщённая схема автоколебательной системы с активным элементом с характеристикой N-типа. В качестве такого элемента возьмём туннельный диод (рис. 50), ВАХ которого показан на рис. 9. Запишем уравнение Кирхгофа для токов в контуре . Из ВАХ (рис.9) видно, что i (u ак = E) = i 0. Введём новую переменную u = E - u ак. При полиномиальной аппроксимации тока активного элемента получим , где a 0 > 0, b 0 < 0, g 0 < 0. Тогда для нашей системы можно записать следующее уравнение движения:
Рис. 50. Автоколебательная система, в которой в качестве активного элемента взят туннельный диод.	,	(6.9)
где , , , , , , x = u / u 0, t = w 0 t. Введённый таким способом коэффициент k называется коэффициентом регенерации и показывает соотношение между вложением и потерями энергии в колебательной

системе при различных значениях её параметров. Если считать, что коэффициент регенерации k и коэффициенты нелинейности b и g удовлетворяют требованиям | k | < < 1, | b | < < 1, | g | < < 1, то к такой системе применим метод ММА. Ищем решение в виде x (t) = u (t)cos(t) + v (t)sin(t), , тогда укороченные уравнения имеют вид

,

(6.10)

где z = u ² + v ². Умножив первое из (6.10) на u, а второе на v и сложив их, получим

.

(6.11)

В укороченных уравнениях (6.10) и (6.11) отсутствуют члены с коэффициентом b, откуда следует, что квадратичные члены при усреднении не влияют на процессы установления и стационарные амплитуды в таких автономных автоколебательных режимах работы.

Для этой системы существуют два стационарных решения (). Одно из них является нулевым решением и соответствует состоянию покоя u ₀ = v ₀ = z ₀ = 0, другое - с отличной от нуля амплитудой - имеет вид z ₀ = -4 k / g. Так как заведомо z > 0, тогда, чтобы существовал предельный цикл, то необходимо k > 0. Проанализируем устойчивость стационарных состояний системы. Выберем некоторое отклонение x. В случае состояния покоя системы z = 0 + x, и тогда уравнение для возмущений в первом приближении имеет вид . Таким образом, как видно, знак коэффициента регенерации k определяет устойчивость состояния покоя: при k > 0 (a > 2 q) состояние покоя неустойчиво, происходит самовозбуждение; при k < 0 (a < 2 q) состояние покоя устойчиво. В случае ненулевой стационарной амплитуды её значение при возмущении x запишется как z = -4 k / g + x; тогда уравнение для возмущения примет вид . При k > 0 (a > 2 q) ненулевая стационарная амплитуда устойчива, при k < 0 (a < 2 q) амплитуда неустойчива.