Введение. Конспект лекций по курсу

Игнатьев В.К.

Конспект лекций по курсу

Основы теории колебании.

Волгоград 2001.

Оглавление

Введение------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4

Тема 1. Колебательные системы-------------------------------------------------------------------------------------- 5

1.1. Классификация колебательных систем------------------------------------------------------------ 5

1.2. Уравнения линейных дискретных колебательных систем--------------------------------------- 5

1.3. Автономные системы, символические уравнения------------------------------------------------ 8

1.4. Неавтономные системы, параметрический генератор------------------------------------------ 11

1.5. Уравнение Лагранжа для колебательных систем------------------------------------------------ 12

1.6. Фазовое пространство, представление движения----------------------------------------------- 13

Тема 2. Консервативные системы с одной степенью свободы-------------------------------------------- 14

2.1. Колебания математического маятника----------------------------------------------------------- 14

2.2. Метод последовательных приближений--------------------------------------------------------- 16

2.3. Свободные колебания в резонансном контуре с нелинейной ёмкостью без затухания------ 18

Тема 3. Свободные колебания в диссипативных системах с одной степенью свободы---------- 21

3.1. Линейный контур с затуханием------------------------------------------------------------------- 21

3.2. Метод медленно меняющихся амплитуд, укороченные уравнения---------------------------- 22

3.3. Применение метода ММА к колебательным системам----------------------------------------- 25

Тема 4. Вынужденные колебания в системе с одной степенью свободы------------------------------ 27

4.1. Вынужденные колебания в линейной системе при гармоническом воздействии------------ 27

4.2. Вынужденные колебания в консервативной нелинейной системе при гармоническом силовом воздействии, гармонический баланс------------------------------------------------------------------ 28

4.3. Генерация высших гармоник---------------------------------------------------------------------- 31

4.4. Метод ММА для колебательных систем с малыми нелинейностями и потерями при гармоническом силовом воздействии----------------------------------------------------------------------------------- 32

Тема 5. Параметрические системы с одной степенью свободы------------------------------------------- 35

5.1. Параметрическое воздействие на колебательный контур, передача энергии----------------- 35

5.2. Параметрические генераторы и усилители------------------------------------------------------ 38

Тема 6. Автоколебательные системы с одной степенью свободы--------------------------------------- 40

6.1. Классификация автоколебательных систем------------------------------------------------------ 40

6.2. Автоколебательные системы томпсоновского типа--------------------------------------------- 43

6.3. Инерциальная нелинейность, стабилизация амплитуды---------------------------------------- 47

6.4. Автоколебательные системы с внешним воздействием, синхронизация колебаний--------- 48

Тема 7. Колебательные системы с двумя степенями свободы-------------------------------------------- 53

7.1. Парциальные системы и частоты, нормальные координаты и частоты----------------------- 53

7.2. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы------------------------------ 56

7.3. Двухконтурный параметрический усилитель---------------------------------------------------- 58

7.4. Двухконтурный автогенератор-------------------------------------------------------------------- 61

7.5. Затягивание колебаний---------------------------------------------------------------------------- 64

7.6. Синхронизация генераторов, метод Хохлова---------------------------------------------------- 65

Тема 8. Колебания в линейных системах со многими степенями свободы--------------------------- 68

8.1. Собственные колебания в консервативных системах------------------------------------------- 68

8.2. Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот- 70

8.3. Вынужденные колебания в системе с n степенями свободы----------------------------------- 71

8.4. Колебания в однородных цепочках--------------------------------------------------------------- 72

8.5. Параметрические системы, соотношения Менли-Роу------------------------------------------- 76

Тема 9. Колебания в распределённых системах.--------------------------------------------------------------- 79

9.1. Телеграфные уравнения, волновое уравнение--------------------------------------------------- 79

9.2. Собственные колебания распределённых систем конечной длины---------------------------- 81

9.3. Вынужденные колебания в распределённых системах----------------------------------------- 82

9.4. Лазер как автогенератор--------------------------------------------------------------------------- 83

Список рекомендуемой литературы-------------------------------------------------------------------------------- 86

Введение

Под колебаниями понимаются повторяющиеся ограниченные движения относительно некоего среднего состояния, которое, в частном случае, может быть положением равновесия. Математическим выражением колебательного движения является периодическая функция, описывающая данный процесс. Общий вид периодической функции:

Это соотношение справедливо для любого момента времени t, где Т – период функции; 1 /T = n – частота; используется также круговая частота w = 2 pn. Особое значение имеет простейший вид колебательного процесса - гармоническое колебание:

;

здесь А - амплитуда колебания, wt + j - мгновенная фаза.

Строго периодичный процесс на практике не встречается, но мы можем иметь дело с почти периодичным процессом, удовлетворяющим следующему условию:

,

причём оно выполняется для любого наперёд заданного малого e > 0, а T (e) - почти период. Примером такого процесса может служить процесс затухающих колебаний

,

при l < < w. Здесь T (e) = 2 p / w - почти период.

Важнейшим свойством колебаний является их изоморфизм, т.е. разные физические процессы описываются одними математическими уравнениями. Для описания колебаний используют различные координаты, однако, физические (первичные) не всегда удобны. Тогда выбирают обобщённые координаты, как некоторую комбинацию первичных координат, такие, что по известному закону преобразования координат решение переводится в первичные координаты.