Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Задача 5. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний, которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой x = 1 равно 2.
|
|
Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний, которых до данной точки А (4; 0) и до данной прямой x = 1 равно 2.
Решение.
В системе координат xOy построим точку А(4; 0) и прямую х = 1.
Пусть М (х; у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Отпустим перпендикуляр МВ на данную прямую х = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1, ордината точки В равна ординате точки В. Следовательно, В (1; у)
По условию задачи, МА: МВ = 2. Расстояния МА и МВ находим по формуле
Тогда имеем:
Возведя в квадрат левую и правую части, получим:
или 
Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось равна 2, а мнимая равна 
т.е.
a = 2, b = 
.
Определим фокусы гиперболы.
Для гиперболы выполняется равенство c 2 = a 2 + b 2. Следовательно, c 2 = 4 + 12 = 16, с = 4. F 1(– 4; 0), F 2(4; 0) – фокусы гиперболы. Заданная точка А (4; 0) является правым фокусом гиперболы.
Определим эксцентриситет полученной гиперболы:
Уравнение асимптот гиперболы имеет вид 
и 
. Следовательно, 
или 
, 
– асимптоты гиперболы.
Рисунок 2
|
|