Задача 5. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний, которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой x = 1 равно 2.

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний, которых до данной точки А (4; 0) и до данной прямой x = 1 равно 2.

Решение.

В системе координат xOy построим точку А(4; 0) и прямую х = 1.

Пусть М (х; у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Отпустим перпендикуляр МВ на данную прямую х = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1, ордината точки В равна ординате точки В. Следовательно, В (1; у)

По условию задачи, МА: МВ = 2. Расстояния МА и МВ находим по формуле

Тогда имеем:

Возведя в квадрат левую и правую части, получим:

или

Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось равна 2, а мнимая равна т.е.

a = 2, b = .

Определим фокусы гиперболы.

Для гиперболы выполняется равенство c ² = a ² + b ². Следовательно, c ² = 4 + 12 = 16, с = 4. F ₁(– 4; 0), F ₂(4; 0) – фокусы гиперболы. Заданная точка А (4; 0) является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

Уравнение асимптот гиперболы имеет вид и . Следовательно, или , – асимптоты гиперболы.

Рисунок 2