Переведення цілих чисел з однієї системи числення в іншу

Лабораторна робота № 1

Мета роботи: Ознайомитися зі структурою машинних форматів представлення даних цілочисельного типу та принципами перетворення даних різних форматів.

Теоретичні відомості.

Число в однорідних системах може бути представлено поліномом виду

(1.1)

або , причому , а знаменник геометричної прогресії р називається основою системи числення. Очевидно, що основою однорідної позиційної системи може бути будь-яке ціле число, оскільки не накладено ніяких обмежень на величину основи. Однорідність системи числення означає, що у всіх розрядах числа, записаного в такій системі, використовують цифри з одної і тієї ж множини. Наприклад, у звичайній десятковій системі числення у всіх розрядах числа використовують цифри з множини 0, 1,...., 9, у двійковій системі - цифри з множини 0, 1, в шістнадцятковій 0,..., 9, A, B, C, D, E, F і т.п.

У загальному випадку із підстановкою замість q будь-якого числа X може бути представлене у виді полінома від основи q:

Xq = anqn + a n-1qn-1 +...+ a1q1 + aoqo+ a -1q-1, (1.2)

де в якості коефіцієнтів ai можуть стояти будь-які з q цифр, використовуваних у даній системі числення. Співвідношення (1.2) називають розкладанням числа X по ступенях основи системи числення.

Нижче приведена таблиця відповідності між першими 17 позитивними цілими числами для найбільш розповсюджених в обчислювальній техніці систем числення: 10-ої, 2-ий, 8-ий і 16-ий.

Нехай задано число А в довільній системі числення з основою l і його необхідно перевести в нову систему з основою р, тобто перетворити до виду

(1.3)

де а_і =0÷ (р-1) - база нової системи числення.

Вираз (1.3) можна записати у вигляді А = А₁× р + а₀ , де - ціла частина частки; а₀ - остача від ділення А на р, яка є цифрою молодшого розряду шуканого числа, записаною у символах старої системи числення.

Таблица 1.1

При діленні числа А₁ на р тим же способом отримаємо остачу а₁ і т.д. Іншими словами, вираз (1.3) записується по схемі Горнера:

, (1.4)

після чого його права частина послідовно ділиться на основу нової системи р.

Таким чином, в результаті серії ділень даного числа на основу нової системи числення р знаходимо коефіцієнти

А = А₁× р + а₀;

А₁ = А₂× р + а₁;

............

А_n-1 = А_n× р + а_n-1;

А_n = 0× р + а_n;

При цьому ділення продовжується до тих пір, поки не будуть виконані співвідношення: А_n < p; A_n+1 =0.

Розглянемо правила переведення цілих чисел з однієї системи числення в іншу.

Для переведення цілого числа X₁₀ з системи числення з основою р=10 в систему числення з основою q використовується правило ділення:

1. Число X₁₀ ділиться на нову основу q, представлене в десятковій системі числення.

2. Отримана від ділення перша остача є кількісним еквівалентом молодшї цифри числа з основою q.

3. Частка від ділення знову ділиться на основу q. В результаті одержується нова остача, кількісний еквівалент якої дорівнює наступній цифрі числа з основою q.

4. Ділення відбувається доти, доки не отримається частка менша за дільник. Остання частка дасть кількісний еквівалент старшої цифри числа з основою q.

5. Після завершення ділення перевести кількісні еквіваленти у цифри в q-тій системі числення і записати їх зправа наліво у зворотньому порядку щодо їх одержання.

Приклад 1.

Число 35₁₀ перевести в двійкову систему числення.

Переведення здійснюється за правилом ділення:

В результаті отримаємо: 35₁₀=100001₂.

Приклад 2.

Число 236₁₀ перевести в 16-річну систему числення.

Переведення здійснюється за правилом ділення:

Для переведення довільного числа X_q з системи числення з основою q відмінним від 10 в десяткову систему числення краще користуватися розкладом числа за стпенем основи q (1.2) і виконати дії в 10-ій системі.

Для переведення чисел з системи числення з основою p¹ 10 в систему з основою q¹ 10 можна скористуватися наступною схемою:

Xp® Z₁₀®Yq. (1.5)

Ділення виконувати в двійковій системі числення важко. Тому на практиці при необхідності переведення чисел із системи з малою основою в систему з великою основою зручно користуватись загальним записом чисел у вигляді полінома. В загальному випадку можна обчислити многочлен

А = a_m× l ^m +... + a₁× l +a₀ (1.6)

у вигляді

, (1.7)

представивши в системі з основою р а_і і l та виконавши всі дії по правилам арифметики основи р. Наприклад, при переведенні двійкових чисел в десяткову систему числення на практиці підраховують суму степенів основи 2, при яких коефіцієнти а_і дорівнюють одиниці. Розрахунки ведуться при цьому в десятковій системі числення.

Завдання на виконання лабораторної роботи.

1) Обрати свій номер варіанта згідно з останньою цифрою у номері залікової книжки (цифра „0” відповідає десятому варіантові).

2) Створити блок-схему алгоритму програми переведення чисел з однієї системи числення в іншу згідно заданого варіанту.

3) Оформити звіт та подати його викладачу разом з результатами виконання роботи.