Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Числовые ряды с положительными членами. Теоремы сравнения.
Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если при любом п. Теорема 8. Любой ряд с положительными членами либо сходится, и его сумма есть положительное число, либо расходится и его сумма равна Доказательство. Пусть дан ряд с положительными членами: . Запишем последовательность частичных сумм: Очевидно, что . Таким образом, последовательность частичных сумм является строго возрастающей, но тогда возможны два случая: 1) Последовательность частичных сумм ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности утверждаем, что имеет конечный предел, то есть ряд сходится. 2) Последовательность частичных сумм возрастает неограниченно, тогда , ряд расходится. Теорема доказана. Признак Коши. Пусть для числового ряда (1) с положительными членами существует предел σ = Тогда при σ < 1 ряд сходится, а при σ > 1 ряд расходится. Можно указать как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых σ = 1.
Теорема сравнения. Пусть даны два положительных ряда (*) и (**) Если, начиная с некоторого номера N, т.е. при n > N, выполняется неравенство ≤ , то из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*), а из расходимости ряда (*) следует расходимость ряда (**).
|