Могилев 2004

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Могилев 2004

§ 1.Законы динамики в неинерциальных системах отсчёта

Напомним, что в основании динамики, созданной Ньютоном, лежат четыре аксиомы. Первая и вторая аксиомы носят название первого и второго закона Ньютона или закона инерции и основного закона динамики.

Первый закон Ньютона. Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Второй закон Ньютона. Ускорение, сообщаемое материальной точке, пропорционально действующей на точку силе, направлено по этой силе и обратно пропорционально массе.

Третья аксиома. Действительно всегда есть равное и противоположное противодействие, другими словами, действие двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны.

Четвёртая аксиома. Материальная точка под действием нескольких сил приобретает ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые она получила бы от каждой силы, действующей отдельно, независимо от других.

Системы отчёта, в которых справедливы законы динамики, установленные Ньютоном, называются инерциальными. Строго инерциальной является система координат, центр которой выбран в центре Солнца, а три оси направлены на любые три звезды. Практически инерциальной является любая система координат, жёстко связанная с Землёй (см.§ 2). Во всех тех случаях, когда мы используем законы Ньютона, мы тем самым подразумеваем, что в качестве системы отсчёта выбрана система координат, жёстко связанная с Землёй. Обычно это не оговаривается специально, что часто порождает двусмысленность.

Иногда значительно удобнее изучить движение с помощью системы отсчёта, которая сама перемещается относительно земли. Если выбранная система отсчёта перемещается равномерно и прямолинейно относительно поверхности земли, законы Ньютона в ней остаются справедливыми. Любая системаотсчёта, движущаяся относительно инерциальной системы равномерно и прямолинейно также является инерциальной. Такой будет, например, система отсчёта, связанная с равномерно и прямолинейно движущимся экипажем (автомобилем, поездом, кораблём, самолётом, лифтом). Наблюдатель, находящийся внутри экипажа, не обнаружит никаких отличий в поведении движущихся тел, по сравнению с их поведением на Земле.

Совершенно по-другому ведут себя для наблюдателя, находящегося внутри экипажа, движущиеся тела, если экипаж движется с ускорением (непрямолинейно или прямолинейно, но неравномерно). Законы Ньютона здесь перестают выполняться. Вообще говоря, в этом случае следовало бы создать механику, отличную от механики Ньютона. Однако, было найдено целесообразным исправить механику Ньютона так, чтобы сохранить основную аксиому в прежнем виде. Для этого оказалось достаточно к силам, обуславливающим движение в инерциальной системе, добавить так называемые «силы инерции», рассчитываемые определённым образом и, кроме того, отказаться от третьей аксиомы. «Исправленный» второй закон Ньютона выглядит следующим образом:

(2.1)

Чтобы рассчитать силу инерции и, основываясь на указанном способе её определения, обратимся к кинематической теоремеКориолиса (Глава 1). Пусть на т.М, находящуюся в переносном и относительном движении действует сила

. Запишем второй закон Ньютона для т.М в неподвижной системе координат:

Рассмотрим движение т. М в подвижной системе координат

с ускорением

. Применяя «исправленный» второй закон Ньютона имеем:

(2.4)

Сравним выражения (2.4) с (2.3), видим, что если положить

выражение (2.4) явиться формальным следствием выражения (2.3) и будет справедливо постольку, поскольку справедлива основная аксиома инерциальной динамики.

Введённая таким образом сила инерции в общем случае имеет сложное строение

Удобнее, однако, силу инерции рассматривать состоящей из переносной силы инерции

и кориолисовой силы инерции

. Кориолисова сила инерции равна нулю, когда отсутствует кориолисово ускорение, т.е. если т. М неподвижна в системе координат

или система координат

движется поступательно. В большинстве технических приложений специальным выбором подвижных координат можно избавиться от кориолисова ускорения и иметь дело только с переносной силой инерции.

§ 2. Эффекты неинерциальности Земли как системы отсчёта

Система отсчёта, связанная с Землёй, строго говоря, неинерциальна и, следовательно, все тела, в том числе и тело человека, подверженного действию сил инерции. Однако, в связи с малой степенью неинерциальности Земли, силы инерции чрезвычайно малы и обнаружить их действие возможно только путём постановки тонких опытов, например, с помощью маятника на очень длинном подвесе. Такой опыт впервые проведён Фуко в 1850г. В Париже.

Проще всего объяснить этот опыт, если представить, что он проводится на полюсе. Известно, что колебания маятника происходят в плоскости действия силы тяжести и в отсутствии других сил маятник сохраняет свою плоскость качения. Наблюдатель, связанный со строго инерциальной системой отсчёта отметит неизменность плоскости качения в своей системой. В то же время Земля поворачивается вокруг своей оси и, следовательно, изменяет положение относительно плоскости качения маятника со скоростью суточного вращения.

Наблюдатель, находящийся на земле, уже не будет инерциальным и, следовательно, он должен, кроме силы тяжести, учесть ещё и силу инерции. В данном случае сила инерции представляется только кориолисовой силой; переносная сила инерции равна нулю в связи с тем, что опыт проводится в точке, расположенной на оси вращения Земли. Кориолисово ускорение направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор угловой скорости Земли и вектор относительной скорости маятника, т.е. перпендикулярно плоскости качания маятника. Направление кориолисовой силы инерции, оставаясь перпендикулярным плоскости качания, дважды в течение периода меняет направление. Действуя непрерывно на маятник, кориолисова сила искривляет траекторию маятника таким образом, что проекция траектории на поверхность Земли за несколько периодов качения маятника представляется в виде розетки (фиг.17). Поскольку искривление траектории очень незначительно, можно говорить, что плоскость качания маятника поворачивается с угловой скоростью вращения Земли, но в противоположном направлении: для северного полюса – с запада на восток.

Если опыт Фуко проводится в средних широтах, картина несколько усложняется. Плоскость качения маятника уже не может сохранить неизменное положение в инерциальной системе отсчёта, т.к. точка подвеса вращается вместе с поверхностью Земли и увлекает в движение маятник. Вектор угловой скорости вращения Земли, согласно правилу буравчика направленный от Южного полюса к Северному, одинаков для всех точек поверхности Земли. Разложим его на две составляющие, как показано на фиг.18.

Составляющая

определит угловую скорость, с которой точка подвеса, а значит и маятника, увлекается в движение вместе с Землёй. Следовательно, это движение с помощью маятника обнаружить нельзя. В отношении вращения со скоростью

маятник будет вести себя также, как и на полюсе. Скорость

согласно фиг.17 находится по формуле

Опыт Фуко демонстрируется в Исаакиевском соборе Ленинграда на широте

. Плоскость качений маятника поворачивается относительно поверхности Земли с угловой скоростью

. На широте экватора плоскость качаний не поворачивается вовсе.

Неинерциальность Земли может быть обнаружена, если эффект неинерциальности действует достаточно долго. Повышенный износ одной стороны рельса при движении поездов только в одном направлении и подмыв одного из берегов рек, объясняется действием кориолисовой силы инерции, всегда направленной перпендикулярно скорости и разрушающей с течением времени связь, наложенную на движущееся тело. В северном полушарии для рек, движущихся на север, разрушению и износу подвержена левая сторона, для рек, текущих на юг – правая. Так, например, Днепр в своём нижнем течении размывает первый высокий берег, отступая от левого неизменного, превратившегося в плавни.

Ещё один пример проявления неинерциальности Земли – уменьшение веса покоящегося тела в зависимости от широты местности. На тело, помимо силы тяжести

, действует реакция связи

и сила инерции, которая в случае покоящегося тела сводится к одной переносной силе инерции

. Поскольку переносная система, Земля, вращаются с угловой скоростью

, переносная сила инерции определяется по формуле

, где

- расстояние от точки

поверхности Земли до её оси вращения. Из этой формулы следует, что наибольшее значение

на экваторе, на полюсе

Если тело подвешено на нити, то действие

приведёт к отклонению нити от вертикали этого места (фиг.19).

Все описанные выше эффекты могут быть объяснены и с точки зрения инерциального наблюдения. В таком случае силы инерции будут отсутствовать, а сами движения тел для наблюдателя происходят по-другому.

В связи с очень малым значением угловой скорости Земли проявление её неинерциальности чрезвычайно мало и в обычных практических расчетах не учитывается.

§ 3. Эффект неинерциальности ускоренного экипажа

Перейдём к рассмотрению примеров, в которых неинерциальность системы отсчёта играет первостепенную роль.

Пример 1. Тело

подвешено на нити в поступательно движущемся экипаже. Если экипаж движется равномерно, нить вертикальна и тело находится под действием двух сил: силы тяжести

и реакции нити

(фиг.20).

При ускоренном движении экипажа нить отклоняется в направлении, противоположном направлению ускорения и остаётся в таком положении, пока ускорение остаётся постоянным. Подвижный наблюдатель, находящийся в экипаже, объясняет отклонение нити от вертикали появлением дополнительной горизонтальной силы – силы инерции

, которая отклоняет тело до нового состояния равновесия, определяемого условием замкнутости треугольника сил

(фиг.20). Каждому значению ускорения экипажа соответствует свой треугольник сил и угол отклонения нити. В основу всех рассуждений наблюдателем положен наблюдаемый им факт отсутствия движения, статического равновесия тела относительно экипажа.

Для неподвижного наблюдателя, находящегося на земле, никаких сил инерции не существует, но зато он наблюдает движение экипажа, а вместе с ним и тела

с ускорением. Для того, чтобы объяснить причину ускорения тела

, наблюдатель должен указать силу, вызывающую это ускорение. Поскольку на тело

реально действуют только две силы

, только они могут сообщить необходимое ускорение. Это возможно лишь в том случае, если эти силы, складываясь, дадут равнодействующую, сообщающую необходимое ускорение телу

(фиг.20). Нить, увлекая тело

в движение вместе с экипажем и преодолевая его инерцию, отклоняется от вертикали, обуславливая тем самым появление равнодействующей. Отклонение нити от вертикали достигает предельного значения в тот момент, когда тело

приобретает ускорение экипажа. Чем больше ускорение экипажа, тем больше отклонение нити.

Подобное явление происходит всякий раз с пассажирами автобуса, управляемого малоопытными водителями. При ускорении автобуса, вызванном троганьем с места или торможением, нарушается статическое равновесие тела пассажира. Причину нарушения равновесия можно объяснить с двух различных точек зрения. Обычно ссылаются на появление дополнительной силы, силы инерции, тем самым выбирая в качестве системы отсчёта автобус. Сила инерции, являясь массовой силой, распределённой по всему телу человека, приводится к равнодействующей, приложенной в центре тяжести тела. Эта равнодействующая создаёт опрокидывающий момент относительно ступней, связанных посредством сил трения с полом автобуса. Если бы такой связи не было или она была очень слабой (например, пассажир стоял на роликовых ножках), опрокидывающий момент не возникал, но зато пассажир ударялся в переднюю или заднюю стенку автобуса. Чтобы не упасть, пассажир вынужден искать способ уравновешивания силы инерции, хватаясь руками за роручни и т.д.

Можно, однако, совсем не упоминать силу инерции и также удовлетворительно объяснить поведение пассажира. В этом случае объяснение проводится с точки зрения наблюдателя, на земле. Сообщить телу человека ускорение автобуса можно посредством связи, подобной той, которую в предыдущем примере осуществляла нить. В данном случае такую связь осуществляет сила трения между ступнями и полом автобуса. Направление полной реакции со стороны пола автобуса из-за силы трения, возникающей при ускорении автобуса, отклонено от вертикали. Сила тяжести и полная реакция, складываясь, дают равнодействующую силу, приложенную в центре тяжести тела и обусловливающую горизонтальное ускорение тела и дополнительный момент. Дополнительный момент появляется в связи с тем, что точки приложения силы тяжести и полной реакции различны. (В примере с телом на нити дополнительный момент не учитывался в связи с предположением, что тело

представляет точечную массу и, следовательно, силы приложены в одной точке). Дополнительный момент является опрокидывающим моментом для тела человека.

Из двух приведённых объяснений поведения пассажира более просто первое. Это объясняет причину предпочтительного использования в ряде случаев неинерциальных систем отсчёта.

Пример 2. Тело

находится в вертикальном лифте, движущимся с ускорением. Здесь в отличии от предыдущего примера ускорение направлено только по вертикали, поэтому неинерциальность проявляется по-особому – в виде изменения веса тела. Этот факт можно зарегистрировать с помощью пружинных весов (фиг.21).

Когда лифт покоится или равномерно движется, сила тяжести

и реакция

со стороны деформированной пружины весов уравновешены. В случае ускоренного движения лифта неинерциальный наблюдатель отмечает изменение первоначального состояния равновесия системы тело-весы, в виде изменения деформации пружины. С точки зрения этого наблюдателя это может произойти только за счёт появления дополнительной силы, силы инерции. Поскольку здесь сила инерции направлена, так же как и сила тяжести

, возникает впечатление изменения силы тяжести, причём в зависимости от направления ускорения тело может стать «тяжелее» или «легче». Если лифт поднимается с ускорением вверх, возникает перегрузка, подобная по своей природе той, которую испытывают космонавты при старте ракеты. При опускании лифта с ускорением вниз у пассажира возникает ощущение потери веса. Особенно ярко это проявляется при спуске в шахтной клети, где расстояние и ускорение значительны. В случае свободного падения лифта вниз, происходящего с ускорением

, неинерциальный наблюдатель должен добавить к весу тела

ещё силу инерции –

. Результирующая этих двух сил равна нулю, а значит и реакция со стороны пружины и её деформация равна нулю. Возникает состояние называемое «невесомостью». Этот термин возник в связи с тем, что в случае, если в условиях такого движения находится человек, то из-за отсутствия реакции со стороны пола кабины и соответствующей деформации частей тела у него возникает субъективное ощущение потери веса. На самом деле этого нет, т.к. весом тела мы называем силу тяжести, обусловленную массой тела и гравитационным притяжением Земли, есть и вес.

Для инерциального наблюдателя никаких других сил, кроме силы тяжести и реакции пружины, нет. Поэтому наблюдаемую им дополнительную деформацию пружины он объясняет следующим образом. Для того чтобы сообщить телу ускорение, равное ускорению лифта, к телу необходимо приложить силу. Источником этой силы является пружина. Суммарная деформация пружины складывается из двух частей: одной части обусловленной силой тяжести и другой части обусловленной упругой силой, сообщающей ускорение телу.

Пример 3. Состояние невесомости, которое испытывают космонавты на орбите, также может быть объяснено с двух мочек зрения. С точки зрения неинерциального наблюдателя, т.е. космонавта, на него действует сила тяжести

и сила инерции

, которые уравновешены, т.к. при запуске ракеты и космонавту в ней обеспечена угловая скорость на орбите

С точки зрения инерциального наблюдателя на Земле на космонавта действуют только одна сила – сила тяжести, под действием которой космонавт вместе с ракетой непрерывно падает на Землю, но при этом он ещё и движется с сообщённой при запуске огромной скоростью относительно Земли в касательном направлении. Траектория результирующего движения оказывается окружностью, поэтому падение на Землю не происходит.

Пример 1. Тело

совершает вращательное движение вокруг некоторой точки

. Такое движение можно осуществить разными способами, но всегда должна существовать связь, обуславливающая окружную траекторию точек тела. Эту связь можно осуществить,

Предположим, что телу

посредством толчка сообщен начальный импульс в направлении касательном к окружной траектории. Требуется объяснить наблюдаемое равномерное вращательное движение. Существование связи проявляется в виде реакции, т.е. в виде внешней силы, действующей на тело

. Эту силу должен принимать во внимание как инерциальный, так и неинерциальный наблюдатель. Но для неинерциального наблюдателя тело

неподвижно, т.к. его система отсчета

жестко связана с телом. Это возможно лишь в том случае, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Значит, кроме реакции, на тело действует еще одна сила, равная реакции связи, но противоположно направленная. Это сила инерции. Поскольку тело

неподвижно в неинерциальной системе отсчета

, сила инерции представляется только одной составляющей – переносной силой инерции

. Для определения ее величины и направления нужно знать величину и направление переносного ускорения

. При любом варианте выбора подвижной системы

переносное ускорение совпадает с центростремительным ускорением центра тяжести тела

при его равномерном движении по окружной траектории.

На основании вышеизложенного определяется сила инерции

Для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета

никаких сил инерции не существует, но зато тело

движется по окружной траектории и, следовательно, обладает ускорением. Единственная сила, приложенная к нему реакция связи. Она и объясняет наличие ускорения. Действительно, реакция связи, осуществляемой нитью, может быть направлена только по нити к центру, что и обуславливает появление в этом направлении ускорения. Поскольку это ускорение всегда направлено к центру, оно называется центростремительным. Величина его, как известно из кинематики, равна

В приводимых объяснениях пока неясна причина возникновения реакции связи. После начального толчка тело, двигаясь в направлении импульса, т.е. касательно к окружной траектории, растягивает нить. Это растяжение продолжается до тех пор, пока возникающая при этом сила упругой деформации нити не сообщит телу ускорение, необходимого для осуществления движения по окружности. Нить при этом, вообще говоря, увеличивает свою длину по сравнению с первоначальной. Но обычно предполагается, что связь достаточно жесткая и этой деформацией пренебрегают. Однако существование этой деформации принципиально важно для объяснения наблюдаемого движения.

Величину реакции связи можно определить исходя из того, что известно центростремительное ускорение центра тяжести тела

Эту реакцию иногда называют центростремительной силой, т.к. она обуславливает центростремительное ускорение. Природа центростремительной силы в упругой деформации связи. Неинерциальный наблюдатель, имеющий дело с равновесием сил, вторую силу, силу инерции, естественно, может называть центробежной силой, отчего она не перестает быть силой инерции.

Пример 2. Основываясь на вышеизложенном объяснении причин разрушения связей, в частности разрушение быстровращающихся маховиков и шлифовальных кругов.

Всякое вращательное движение связано с деформацией связи, причем, чем больше ускорение тела, тем больше деформация связи. Величина ускорения может быть какой угодно, а величина деформации не может превышать допустимую из условия прочности связи. Если начальный импульс будет слишком велик за счет сообщения очень большой скорости телу, то это приведет к очень большому ускорению в последующем вращательном движении. Это вытекает из того, что величина сообщенной телу скорости должна сохраниться и во вращательном движении, а это в случае достаточно жесткой связи возможно лишь за счет большой угловой скорости. Связь разрушится из-за несоответствия допустимой деформации и ускорения, обусловленного начальным импульсом.

Если большая скорость телу

сообщена путем постепенного увеличения угловой скорости, как это имеет место в случае быстровращающихся маховиков и шлифовальных кругов, разрушение их происходит из-за невозможности обеспечить требуемое ускорение посредством связи, обладающей ограниченной деформационной способностью,

Таким образом, не появление каких-то дополнительных сил является причиной разрушения маховиков и шлифовальных кругов, а наоборот, отсутствие возможности обеспечить необходимую упругую силу посредством деформируемой связи.

Приведенное объяснение является точкой зрения инерциального наблюдателя, но вывод справедлив и для неинерциального, т.к. и в этом случае сила инерции является не причиной, а следствием возникающего движения с ускорением. Само движение возможно лишь при выполнении тех же условий, что и для инерциального наблюдателя.

Пример 3. Тело

движется по кривой, отличающейся от окружности. Этот случай движения можно получить, например, поместив тело без трения на неподвижной проволоке с произвольной кривизной. Проволока играет роль связи (фиг.23).

Сообщим посредством начального толчка импульс движения телу

. Поскольку связь двусторонняя, импульс может быть сообщен только в направлении касательной к кривой. Объясним движение с позиции инерциального наблюдателя. Тело, сохраняя первоначальный импульс, стремиться двигаться прямолинейно, равномерно, но связь отклоняет его, тем самым, сообщая ускорение телу, направленное внутрь кривой. Придать ускорение телу можно, подействовав на него силой. Такой силой может быть только реакция связи. Направление реакции связи при отсутствии сил трения всегда нормально к кривой. Таким образом, инерциальный наблюдатель объяснит ускорение тела М, указав вызывающую его силу.

Неинерциальный наблюдатель, связанный с телом М, считает тело покоящимся. Это возможно лишь в том случае, если наряду с реакцией связи на тело действует еще одна сила, равная, но противоположно направленная. Такой силой является сила инерции, а именно, переносная силы инерции, определяемая переносным ускорением центра тяжести тела

. Поскольку при указанном выборе подвижной системы координат отсчёта относительное и кориолисово ускорение отсутствуют, переносное ускорение совпадает с абсолютным. Величина и направление абсолютного ускорения определяется кривой.

Пример 4. Тело М помещено с возможностью перемещения на прямолинейном рычаге 1, вращающимся с угловой скоростью ω. Траектория движения центра тяжести тела М представляет некоторую кривую (Фиг. 24).