Приклад 7. Електричне поле створено тонкою нескінченно довгою ниткою, рівномірно зарядженою з лінійною густиною заряду

Електричне поле створено тонкою нескінченно довгою ниткою, рівномірно зарядженою з лінійною густиною заряду . На відстані від нитки знаходиться плоска кругла пластинка радіусом . Визначити потік вектора напруженості через цю пластинку, якщо площина її складає кут з лінією напруженості, що проходить через середину пластинки.

Дано:

Розв’язування

Поле, що створене нескінченною рівномірно зарядженою ниткою, є неоднорідним. Потік вектора напруженості в цьому випадку виражається інтегралом:

, (1)

де – проекція вектора на нормаль до поверхні пластинки . Інтегрування виконують по всій поверхні пластики, яку пронизують лінії напруженості.

Проекція вектора напруженості рівна:

,

де – кут між вектором напруженості і нормаллю .

З урахуванням всього формула (1) матиме вигляд:

. (2)

Оскільки пластинки малі, в порівнянні з відстанню до нитки , то електричне поле в межах пластинки можна вважати однорідним. Тому, вектор напруженості дуже мало змінюється за абсолютним значенням та напрямком в межах пластинки і це дозволяє замінити під знаком інтегралу значення і їх середніми значеннями і і винести їх за знак інтеграла:

.

Виконуємо інтегрування і замінюємо і їх наближеними значеннями і , які обчислені для середньої точки пластинки. В результаті отримаємо:

. (3)

Напруженість в точці А обчислюється за формулою . Із тригонометричних формул випливає, що . З врахуванням цього, формула (3) матиме вигляд:

, або .

Після підстановки числових значень в останню формулу зробимо обчислення:

.

Відповідь: .