Применений матриц к расчёту электрических цепей

Обратим внимание на то, что при записи уравнений, описывающих состояние электрических цепей, в матричной форме ветви схемы не должны состоять только из идеальных элементов таких, как: 1) источник тока, внутреннее сопротивление которого принимается бесконечно большим r_в =¥, g_в = = 0; 2) источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого r_в = 0, а соответствующая проводимость g_в = r_в ^-1 = ¥; 3) перемычка, сопротивление которой r = 0, а g = ¥.

Поэтому на первом этапе работы со схемой она подвергается эквивалентным преобразованиям:

1) источники тока переключаются параллельно конечным сопротивлениям других ветвей;

2) источники ЭДС ветвей, состоящих только из этих ЭДС, переносятся за узел электрической цепи;

3) узлы, соединённые перемычками, объединяются в единый узел.

После таких преобразований исходной схемы в новой расчётной схеме будут только обобщённые ветви вида рис. 1.57.

На этой схеме: точки «m» и «n» – конечные точки ветви, становящиеся узлами разветвлённой цепи, потенциалы этих точек, соответственно, j_m и j_n; напряжение ветви U = j_m – j_n; ток обобщённой ветви (в дальнейшем ток ветви) I, положительное направление которого выбирается обязательно совпадающим с положительным направлением напряжения ветви U; I_r – ток сопротивления ветви; E – ЭДС источника ЭДС ветви; J – ток источника тока ветви; r – сопротивление ветви.

Примечание. Указанные на рис. 1.57 направления I, I_r, E, J приняты за положительные. Если по какой-то причине направления некоторых величин будут противоположными тем, которые указаны на рис. 1.57, при передаче цифровой информации необходимо предусмотреть знак «-» перед числом.

ЗАДАЧА 1.54. Для расчёта электрической цепи рис. 1.58, а с выбранным графом, представленным на рис. 1.58, б, составить уравнения по законам Ома и Кирхгофа в матричной форме.

Параметры приведенной электрической цепи заданы:

E ₁ = 80 В, E ₅ = 150 В, J ₂ =3 A, J ₃ =7 A,

r ₁ =6 Ом, r ₂ =12 Ом, r ₃ = 15 Ом, r ₄ =25 Ом, r ₅ = 30 Ом, r ₆ = 8 Ом.