Основы анализа на чувствительность (анализ моделей после нахождения оптимального решения

Анализ моделей на чувствительность — это процесс, реализуемый после того, как оптимальное решение задачи получено. В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения_ к_ определенным изменениям исходной модели. В задаче фирмы Reddy Mikks, например, может представить интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса и (или) цзменения_запасов исходных продуктов. Возможно, также потребуется определить влияние на оптимальное ре­шение изменения рыночных цен.

При таком анализе всегда рассматривается некоторая совокуп­ность линейных оптимизационных моделей, т. е., по существу, некоторая модель исследования операций. Это придает модели оп­ределенную динамичность, позволяющую исследователю прознализировать влияние возможных изменений исходных условий на по­лученное ранее оптимальное решение. Динамические характерис­тики моделей фактически отображают аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие методов, позволяющих выявить влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет еще до_ своей реализации.

В данном разделе для проведения анализа модели на чувстви­тельность используются графические методы, поэтому применяемые приемы довольно просты. Тем не менее нам удастся получить ре­зультаты, па которых основываются весьма эффективные методы анализа моделей на чувствительность, рассматриваемые и гл. 3 и 4.
Пе р в а я задача анализа на чувств и т ель о с т ь. На сколько сократить или увеличить запасы ресурсов?

После нахождения оптимального решения представляется впол­не логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении из­менение запасов ресурсов. Особенно важно проанализировать сле­дующие два аспекта.

1. На сколько можно _увеличить запас некоторого ресурса для у лучшения_ полученного оптимального значения целевой функ­ции z?

2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции?

Так как величина запаса каждого из ресурсов фиксируется в правых частях ограничений, этот вид анализа обычно идентифици­руется как анализ модели на чувствительность к правой части (ограничений).

Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицыруем ограничения линейной модели как связывающее и несвяэывающие (неактивные) ограничения. Прямая, представ­ляющая связывающее ограничение, должна проходить через опти­мальную точку. В противном случае соответствующее ограничение будет несвнзывающим. На рис. 2.1 связывающими ограничениями являются только ограничения (I) и (2), т. с. те, которые лимитируют запасы исходных продуктов (ресурсов) А и В.

Если некоторое ограничение является связывающим, логично отнести соответствующий ресурс к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью.

Ресурс, с которым ассоцииро­вано несвязыаиющее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). Таким образом, при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:

1) предельнодопустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оп­тимальное решение, и

2) предельно допустимое снижение запаса недефпцитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптималь­ного значения целевой функции. Информация, полученная в послед­нем случае, особенно полезна в тех ситуациях, когда излишки недефицитного ресурса могут быть использованы для других целей.

Может возникнуть вопрос: не следует ли проанализировать, как повлияет на оптимум увеличение объема ресурсов, имеющихся в избытке, и сокращение объема дефицитных ресурсов? Ответ на первую часть вопроса очевиден, так как в этом случае мы попыта­лись бы сделать и без того избыточный ресурс еще более избыточным, что никак не повлияет на полученное ранее решение. Вторая часть вопроса заслуживает особого внимания, так как при возможных недопоставках дефицитного ресурса важно знать, как это скажется на результатах решения задачи. Однако имейте в виду, что сокра­щение объема дефицитного ресурса никогда не улучшает значения целевой функции.

Обратимся опять к конкретному примеру, В задаче фирмы Reddy Mikks используемые продукты А и В (ограничения (I) и (2)) являются дефицитными ресурсами. Рассмотрим сначала ресурс А. На рис. 2.3 видно, что при увеличении запаса этого ресурса пря­мая (1) (или отрезок СD) перемещается вверх параллельно самой себе, постепенно «стягивая» в точку треугольник СDК.(Стороны

Рис. 2.3. С: (3¹/₃, 1 ¹/₃); z =12 ¹/₃; К: (3, 2); z = 13,

СK и DК. этого треугольника представляют собой продолжения пря­мых, соответствующих ограничениям (2) и (4).} В точке К ограни­чения (2) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при чтом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится многоугольник АВКEF. В точке К ограниче­ние (I) (для ресурса А) становится избыточным, так как любой даль­нейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение. Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным, т.е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точку К. Этот пре­дельный уровень определяется следующим образом. Во-первых,

устанавливаются координаты точки К, в которой пересекаются прямые (2) и (4), т. е. находится решение системы уравнений

2 Х₁ + Х₂=8 (прямая (2)),

Х₂ = 2 (прямая (4)).

В результате получается Х₁=3 и Х₂=2. Затем путем подстановки координат точки К в левую часть ограничения (I) определяется максимально допустимый запас ресурса А:

Х₁+2 Х₂=3+2x2=7 т.

Рис. 2.4 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос о целесообразности увеличения запаса дефицитного ресурса (2) (исходного продукта В). Новой оптимальной точкой становиться точка J, где пересекаются прямые (6) и (1), т. е. Х₂=0 и

Х₁ + 2 Х₂= 6, Отсюда следует, что Х₁=6, Х₂ = 0, причем зап; к продукта В можно увеличить до значения, равного 2 Х₁+ Х₂=2*6+1*0= 12т.

Рассмотрим теперь вопрос об уменьшении правой части несвязывающих ограничений. Ограничение (4), Х_I ≤ 2, фиксирует предель­ный уровень спроса на краску I. Из рис. 2.2 следует, что, не изме­няя оптимального решения, прямую (4) (ЕD) можно опускать вниз до пересечении с оптимальной точкой С. Так как точка С имеет ко­ординаты Х_е = 3 ¹/₃ и Х_I=1 ¹/₃, уменьшение спроса на краску I до величины Х_I=1 ¹/₃ никак не повлияет на оптимальность ранее полу­ченного решения,

Рассмотрим ограничение (3), — Х_е + Х_I ≤ 1, которое представляет соотношение между спросом на краску I и спросом на краску Е. И в этом случае правую часть ограничения можно уменьшать до тех пор, пока прямая (3) (ЕF) не достигнет точки С, При этом правая часть ограничения (3) станет равной — Х_е+ Х_I=(—3 ¹/₂)+(1 ¹/₂) = —2, что позволяет записать это ограничение в виде: — Х_е+ Х_I ≤ —2, или в эквивалентной форме: Х_е — Х_I ≥ 2. Этот резуль­тат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не из­менится, если спрос на краску Е превысит спрос на краску I не более чем на 2 т.

Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу.

Вторая задача анализа на чувствитель­ность. Увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?

В первой задаче анализа на чувствительность мы исследовали влияние на оптимум увеличения объема дефицитных ресурсов (т. е. изменения связывающих ограничений). При ограничениях на затраты, связанные с дополнительным привлечением ресурсов (что характерно для большинства экономических задач), естествен­но задать вопрос: какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств? С помощью методов линей­ного программирования удается ответить и на такой вопрос. Для этого вводится_ характеристика ценности[каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса, выражаемая через соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Такую харак­теристику для рассматриваемого~прнмера можно получить непо­средственно из таблицы, в которой приведены результаты решения первой задачи анализа на чувствительность.

Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через y _i. Величина y _i. определяется из соотношения

Максимальное приращение оптимального значения z

Максимально допустимый прирост объема ресурса i

Аналогичным образом можно определить ценность единицы каж­дого из ресурсов и представить результаты в следующей таблице:

Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополни­тельные вложения в первую очередь следует направить па увели­чение ресурса 2 (продукт В) и лишь затем — на увеличение ресур­са 1 (продукт А). Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.

Третья задача анализа на чувствитель­ность. В каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции?

Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон прямой, которая представляет эту функцию в принятой системе координат. В подразд. 2.1.1 было показано, что иденти­фикации конкретной угловой точки в качестве оптимума зависит прежде всего от наклона этой прямой. Это означает, что вариация коэффициентов целевой функции может привести к изменению совокупности связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или иного ресурса (т. е. сделать недефицитный ресурс дефи­цитным, и наоборот). Таким образом, в рамках анализа модели на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции могут исследоваться следующие вопросы.

1. Каков диапазон изменения (увеличения или уменьшения) того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения?

2. Насколько следует изменить тот или иной коэффициентце­левой функции, чтобы сделать некоторый недефецитный ресурс де­фицитным и, наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным? Обсудим поставленные вопросы на примере задачи фирмы Reddy Mikks.

Рассматривая первый вопрос, обозначим через с_Е и с_I доходы фирмы от продажи 1 т краски I: к 1 т краски 1 соответственно. Тогда целевую функцию можно представить в следующем виде:

Z= с_Е х_Е + с_I х_I

Из рис. 2.5 видно, что при увеличении с_Е или уменьшении с_I пря­мая, представляющая целевую функцию z, вращается (вокруг точки С) по часовой стрелке. Если же с_Е; уменьшается или с_I уве­личивается, эта прямая вращается в противоположном направ­лении — против часовой стрелки. Таким образом, точка С будет оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы, определяемые наклонами прямых для ог­раничений (1) и (2). Когда наклон прямой z станет равным наклону прямой для ограничения (1), получим две альтернативные опти­мальные угловые точки С и D. Аналогично, если наклон прямой г станет равным наклону прямой для ограничении (2), будем иметь альтернативные оптимальные угловые точки С и D. (Наличие альтернативных оптимумов свидетельствует о том, что одно и то же оптимальное значение z может достигаться при различных значе­ниях переменных. Как только наклон прямой z выйдет за пределы указанного выше интерва­ла с_Е получим некоторое новое оптимальное решение (точка б или точка D).

Чтобы проиллюстрировать эту процедуру вычислений, рас­смотрим, каким образом можно найти допустимый интервал изме­нения с_Е, при котором точка С остается оптимальной. Исходное значение коэффициента с_I =2 оставим неизменным. Из рис, 2.5 видно, что значение с_Е._: можно увеличивать до тех пор, пока прямая z не совпадет c прямой (2), или уменьшать, пока прямая 2 не совпа­дет с прямой (1). Эти крайние значения коэффициента с_Е можно определить из равенства наклонов прямой z и прямой (2) (макси­мальное значение с_Е) и равенства наклонов прямой z и прямой (!) (минимальное значение с_Е). Так как тангенс угла наклона для прямой z равен с_Е: /2, а для прямых (1) и (2) соответственно 1/2 и 2/1, минимальное значение с_Е определяем из равенства

с_Е /2=1/2, откуда min с_Е = 1,

а максимальное значение с_Е находим из равенства

с_Е/2=2/1, откуда max с_Е =4.

Интервал изменения с_Е, в котором точка С по-прежнему ос­тается единственной оптимальной точкой, определяется неравен­ством 1< с_Е < 4. При с_Е = \ оптимальными угловыми точками будут как точка С, так и точка D. Как только коэффициент с_Е становится меньше 1, оптимум смещается в точку D, Аналогичную интерпре­тацию можно дать и тому случаю, когда коэффициент с_Е. оказывается равным или начинает превосходить максимальный предел, равный 4.

Можно заметить, что, как только коэффициент с_Е. оказывается меньше 1, ресурс 2 становится недефицитным, а ресурс 4 — дефи­цитным. Для фирмы Reddy Mikks это означает, что если доход от продажи одной тонны краски Е станет меньше 1 тыс. долл., то наиболее выгодная производственная программа фабрики должна предусматривать выпуск максимально допустимого количества краски 1 (т. е. х_I =2 т в сутки). При этом общее потребление про­дукта В (ограничение (2)) снизится, что обусловит недефицитность этого ресурса. Соответствующие выводы легко сделать и для слу­чая, когда значение с_Е. превысит максимальное значение, равное 4.