Математическая формулировка. Определение переменных, данное в словесной формулировке модели, необходимо видоизменить таким образом

Определение переменных, данное в словесной формулировке модели, необходимо видоизменить таким образом, чтобыим мог воспользоваться оператор, управляющий работой режущего устройства. При рассмотрении двух способов получения рулонов нестандартных размеров было отмечено, что переменные следует идентифицировать как количество стандартных рулонов, которые должны быть разрезаны при данном варианте установки режущей кромки. Очевидно, что такое определение требует перечисления всех возможных вариантов раскроя стандартного рулона. Соот­ветствующие исходные данные приведены в таблице. Варианты 1, 2 и 3 показаны на рис. 2.9. Читателю предлагается убедиться как в правомерности использования остальных вариантов, так и в том, что ни один из «потенциальных» вариантов не пропущен. При этом следует иметь в виду, что такие «потенциальные» варианты не должны давать рулонов-остатков шириной более 4 футов.

Чтобы дать математическую формулировку задачи, определим переменные следующим образом:

х_j — количество стандартных рулонов, разрезаемых по вари­анту j, j=1, 2, …., 6.

Ограничения непосредственно связаны с требованием обеспе­чить изготовление заказанного количества нестандартных рулонов. Если будут использоваться все приведенные и таблице варианп.1 раскроя стандартного рулона, то мы получим следующие резуль­таты:

Количество рулонов шириной 5 футов=2 х₂+2 х₂+4 х₄+ х₅

Количество рулонов ширимой 7футов = х₁+ х₂+2 х₅

Количество рулонов ширимой 9 футов= х₁ + х₃ +2 х6. Каждое из этих соотношений определяет количество фактически получаемых нестандартных рулонов, которое должно быть не меньше 150, 200 и 300 для рулонов шириной 5, 7 и 9 футов соответственно. Эти требования и определяют все ограничения модели.

Для получения целевой функции обозначим через y₁, y₂ и y₃ избыточное количество рулонов шириной 5, 7 и 9 футов соответственно. Тогда

y₁ = 2 х₂ + 2 х₃ + 4х₄ + х₅ —150,

y₂= х₁+ х₂ + 2 х₅ +—200,

y₃= х₁ + х₃ +2 х₆ — 300.

Общее выражение для суммарной величины потерь бумаги (в еди­ницах площади) будет иметь следующий вид;

L (4х₁+3 х₂ + х₃ + х₅ +2 х₆ +5 y₁ +7 y₂ +9 y₃) фут².

Учитывая, что длина стандартного рулона L входит в полученное выражение как общий множитель, за целевую функцию можно принять сумму, стоящую в скобках, что никак не отразится на результатах оптимизации.

Таким образом, математическая модель в общем виде записы­вается следующим образом:

минимизировать z = 4 х₁ + 3 х₂ + х₃ + х₅ + 2 х₆ + 5 y₁ + 7 y₂ +9 y₃

Пример 2.2.5. (Минимизация дисбаланса на линии сборки.) Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляются на двух заводах. Из-за различия в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова. В приводимой ниже таблице содержатся ис­ходные данные, характеризующие как производительность заво­дов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым в течение недели располагает каждый из Заводов для производства этих узлов.

Идеальной является такая ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производи­тельности заводов. Более реальная цель состоит, по-видимому, в том, чтобы максимизировать выпуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.

Возможный объем производства каждого из трех видов узлов, зависит от того, какой фонд времени выделяет каждый завод для их изготовления. Это послужит для нас исходным моментом при идентификации переменных.