Построение математической модели

Процесс построения математической модели для решения постав­ленной задачи можно начать с ответов на три следующие вопроса:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель? Другими словами, как идентифицировать переменные (искомые величины) данной задачи?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой си­стемы?

3. В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Конструктивный путь формулировки ответов на поставленные вопросы состоит в том, чтобы словесно выразить суть проблемы. Рассматриваемую ситуацию можно охарактеризовать следующим образом.

Фирме требуется определить объемы производства (в тоннах) каждой из красок, максимизирующие доход (в тысячах долларов) от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход ис­ходных продуктов.

Трудность построения математической модели заключается в идентификации переменных и последующем представлении цели и ограничений в виде математических функций этих переменных. В рассматриваемом случае мы имеем следующее.

Переменные. Так как нужно определить объемы производ­ства каждого вида краски, переменными в модели являются

Х₁ — суточный объем производства краски Е (в тоннах),

Х₂ — суточный объем производства краски I (в тоннах).

Целевая функция. Так как стоимость 1 т краски Е равна 3 тыс. долл., суточный доход от ее продажи составит 3 Х₁ тыс, долл. Аналогично доход от реализации Х_I тонн краски I составит 2 Х₂ тыс. долл. в сутки. При допущении независимости объемов сбыта каждой из красок общий доход равен сумме двух слагаемых -дохода от продажи краски Е и дохода от продажи краски I.

Обозначив общий доход (в тыс. долл.) через z можно дать сле­дующую математическую формулировку целевой функции: опреде­лить (допустимые) значения Х₁ и Х_2, максимизирующие величину общего дохода z =3 Х₁ +2 Х₂.

Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов и спрос на изготовляемые краски. Ограничение на расход исходных продуктов можно записать следующим образом:

Расход исходного продуктах Максимально возможный
для производства обоих < = запас данного исходного
видовкраски продукта

Это приводит к следующим двум ограничениям (см. условия задачи):

Х₁ + 2 Х₂ ≤ 6 (для А),

2 Х₁ + Х₂ ≤ 8 (для В).

Ограничения на величину спроса на продукцию имеют вид

Превышение спроса на ≤

краску I относительно.

спроса на краску Е

(Спрос на краску I) ≤

Математически эти ограничения записываются следующим образом:

Х₂ — Х₁ ≤ 1 (соотношение величин спроса на краску I и краску Е).

Х₂≤ 2 (максимальная величина спроса на краску I).

Неявное (т. е. «подразумеваемое») ограничение заключается е том, что объемы производства продукции не могут принимать отрицательных значений (т. е. быть меньше нуля). Чтобы предотвра­тить получение таких недопустимых решений, потребуем выполнения условия неотрицательности переменных, т.. е. введем ограничения на их знак:

Х₂≥ 0 (объем производства краски I)

Х₁ ≥ 0 (объем производства краски Е)

Итак, математическую модель можно записать следующим образом. Определить суточные объемы производства (Х₂ и Х₁) краски I и краски Е (в тоннах), при которых достигается

max z=3 Х₁ + 2 Х₂ (целевая функция)

при Х₁ + 2 Х₂ ≤ 6

2Х1 + Х₂≤ 8

- Х₁+ Х₂ ≤ 1 (ограничения)

Х₂ ≤ 2

Х₁≥ 0, Х₂ ≥ 0

Что определяет линейный характер построенной модели? С формальных позиций данная модель является линейной потому, что все входящие в нее функции (ограничения и целевая функция) линейны. Линейность предполагает наличие двух свойств — пропорциональности и аддитивности.

1. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной (т.е. Х₁ и Х₂) в целевую функцию и общий объем потребления соответствующих ресурсовпрямо пропорционален уровню (величине) этой переменной. Если, например, фирма будет предоставлять покупателям скидку, продавая краску Е по цене 2, 5 тыс. долл. за тонну при объеме закупок свыше 2 т, то в такой ситуации не будет выполняться исходное условие задачи, заключающееся в том, что производство одной тонны краски Е обеспечивает доход от реали­зации, равный 3 тыс. долл. В новых условиях этот доход будет равен 3 тыс. долл. при Х₁ ≤.2 т и 2, 5 тыс. долл. при Х₁> 2 т, т. е. прямая пропорциональность между доходом фирмы и величиной Х₁ не имеет места.

2. Аддитивность заключается в том, что целевая функция пред­ставляет собой сумму вкладов от различных переменных. Аналогично левая часть каждого ограничения должна представлять собой сумму расходов, каждое слагаемое которой пропорционально величине соответствующей переменной. Если, например, фирма производит два конкурирующих вида продукции, увеличение сбыта одного из которых отрицательно сказывается на объеме реализации другого, то такая модель не обладает свойством аддитивности.