Условная вероятность.

Всякий эксперимент реально завершается появлением того или иного элементарного исхода «w». Он может обладать одним или несколькими свойствами, признаками A, B, C и т.д., на основании которых строятся виртуальные объекты – события A, B, C и т.д. Наличие или отсутствие каких-то признаков может менять вероятности, приписываемые виртуальным событиям.

Определим условную вероятность некоторого события B или A, происшедшего на фоне другого события A или B, в виде отношения числа равновозможных исходов M_AB, благоприятствующих одновременно обоим этим событиям, к числу равновозможных исходов M_A или M_B, благоприятствующих фоновому событию, т.е.:

P(B | A) = M_AB / M_A (14)

или

P(A | B) = M_AB / M_B. (15)

Разделив числитель и знаменатель каждой из последних формул на общее число равновозможных исходов N, получим выражения условных вероятностей в виде отношения вероятности пересечения взаимодействующих событий к безусловной вероятности фонового события:

P(B | A) = P(AB) / P(A) (16)

или

P(A | B) = P(AB) / P(B). (17)

Классическое определение вероятности, введённое ранее (см. 2.1.3), не противоречит формулам (16) и (17):

P(A | W) = P(AW) / P(W) = P(A) / 1 = P(A),

т.е. «условная» вероятность события A на фоне всего ПЭИ W – это безусловная вероятность данного события.

Частотный способ позволяет оценивать условные вероятности P(B | A) и P(A | B) по частостям таких событий из экспериментальных данных:

P(B | A) ≈ Q(B | A) = m_AB / m_A

или

P(A | B) ≈ Q(A | B) = m_AB / m_B.

Задача 2.4. В условиях Задачи 2.2 вычислить условную вероятность того, что появившееся число на верхней грани кратно трём (B), если известно, что оно нечётное (A).

Решение. Вычислим искомую вероятность классическим способом (14). Числа M_AB и M_A определяются количеством элементарных исходов, обладающих свойствами AB и A: M_AB = 1, M_A = 3. Следовательно, P(B|A) = 1 / 3. #

Рис. 2.3. Условная вероятность.