Элементы теории вероятностей

Случайные события

Основные понятия и частотное определение вероятности.

Никакая наука не может обойтись без понятий, являющихся первичными, не подлежащими определению и воспринимаемыми так, как это позволяет сделать тот язык, на котором идёт изложение материала. В теории вероятностей в качестве таких первичных понятий на русском языке могут быть использованы событие, исход эксперимента и вероятность, а так же синонимы этих слов, например, явление, результат опыта, возможность и тому подобное.

Философский аспект категории «вероятность» не обсуждается в данной работе. Фактически, наш круг проблем – это «исчисление вероятностей», т.е. мы займёмся не качественной, философской, стороной вопроса, а количественной – мерой.

Теория вероятностей (ТВ) разрабатывает и изучает математические модели случайных событий. Однако изучает она не любые случайные явления, а лишь такие, которые обладают свойством статистической устойчивости частот [1]. Поясним это свойство.

Пусть A – некоторое случайное событие, которое может фиксироваться в результате эксперимента. Если всего было произведено n опытов, среди которых событие A наблюдалось m _A раз, то отношение этих количеств

Q(A) = m_A / n (1)

называют относительной частотой или частостью события A. Выполнив k серий подобных опытов, мы можем вычислить k значений частостей

Q₁(A), Q₂(A), … Q_k(A).

Если все эти результаты близки друг к другу, то можно допустить, что событие A обладает статистической устойчивостью частот. Очевидно, что частость всегда лежит в пределах от нуля до единицы:

0 ≤ Q(A) ≤ 1. (2)

Мера близости отдельных частостей друг к другу, в k проводимых сериях, не рассматривается нами. Мы полагаемся в этом вопросе на здравый смысл, а более фундаментальные исследования по этому вопросу составляют одну из проблем теории вероятностей.

Теперь мы можем перейти к частотному определению вероятности: «Число, около которого колеблются частости случайного события A в отдельных сериях испытаний, называется вероятностью этого события и обозначается P(A)».

Это определение было предложено Р. Мизесом в 1920 году в противовес господствовавшему к тому времени классическому, о котором речь пойдет ниже. Там же мы остановимся на достоинствах и недостатках этих определений и двуединстве математического понимания вероятности.

Из частотного определения вероятности и неравенств (2) следует, что

0 ≤ P(A) ≤ 1. (3)

Таким образом, описывая различные события A, B, C … и т.д., можно проводить испытания, вычислять частости этих событий Q(A), Q(B), Q(C) …, оценивать по ним вероятности P(A), P(B), P(C) … и регулировать свое поведение относительно указанных событий, принимая соответствующие решения. К сожалению, такой путь крайне трудоемок, хотя он и приводит к конкретным результатам.